![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функция называется первообразной для функции
на интервале (а, b),
Если для всех имеет место соотношение
.
Очевидно, что вместе с функцией первообразной для
будет и функция
, где С – произвольное постоянное число. Совокупность всех первообразных
для функции
называется неопределенном интегралом и обозначается:
(8.1)
Отметим, что интегрирование (то есть нахождение первообразной для ) является обратной операцией к дифференцированию (то есть нахождению производной для функции
Отсюда вытекают простейшие свойства неопределенного интеграла:
1)
2)
3)
4)
а также таблица неопределенных интегралов для элементарных функций:
1) , если
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Искусство интегрирования состоит в том, чтобы интеграл от произвольной функции свести к одному или нескольким табличным интегралам 1) – 9). Существует несколько стандартных приемов (методов), позволяющих это сделать.
Метод замены переменной основан на формуле
=
(8.3)
и при удачном выборе функции позволяет получить в правой части формулы (8.3) один из табличных интегралов.
Дадим несколько полезных советов, которые можно использовать при использовании формулы.
Замена
1. ,
,
2.
,
3.
4.
5.
,
6.
,
7.
,
8.
,
Пример
+
=
+
=
+
+ C =
+
+ C
Замена
Метод интегрирования по частям основан на формуле
(8.4)
которая легко получается из правила дифференцирования произведения двух функций:
. Первообразной для функции
является, очевидно, функция
, а первообразная для функции
равна
+
, так что получим
=
+
(8.5)
отсюда и следует формула (8.4). Предполагается, что в формуле (8.4) интеграл, стоящий в правой части равенства вычисляется проще, чем интеграл, стоящий в левой части равенства.
Пример 1
Вычислить интеграл . Обозначим
=
. Согласно (8.4) получим:
= -
=
Пример 2
Вычислить интеграл . Обозначим
=
. Согласно (8.4) получим:
= (
–
(
-
= (
-
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 197 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!