Определение 8.1

Функция называется первообразной для функции на интервале (а, b),

Если для всех имеет место соотношение .

Очевидно, что вместе с функцией первообразной для будет и функция , где С – произвольное постоянное число. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенном интегралом и обозначается:

(8.1)

Отметим, что интегрирование (то есть нахождение первообразной для ) является обратной операцией к дифференцированию (то есть нахождению производной для функции Отсюда вытекают простейшие свойства неопределенного интеграла:

1)

2)

3)

4)

а также таблица неопределенных интегралов для элементарных функций:

1) , если

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Искусство интегрирования состоит в том, чтобы интеграл от произвольной функции свести к одному или нескольким табличным интегралам 1) – 9). Существует несколько стандартных приемов (методов), позволяющих это сделать.

Метод замены переменной основан на формуле

= (8.3)

и при удачном выборе функции позволяет получить в правой части формулы (8.3) один из табличных интегралов.

Дадим несколько полезных советов, которые можно использовать при использовании формулы.

Замена

1. , ,

2. ,

3.

4.

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

Пример

+ = + = + + C = + + C

Замена

Метод интегрирования по частям основан на формуле

(8.4)

которая легко получается из правила дифференцирования произведения двух функций:

. Первообразной для функции является, очевидно, функция , а первообразная для функции равна + , так что получим

= + (8.5)

отсюда и следует формула (8.4). Предполагается, что в формуле (8.4) интеграл, стоящий в правой части равенства вычисляется проще, чем интеграл, стоящий в левой части равенства.

Пример 1

Вычислить интеграл . Обозначим = . Согласно (8.4) получим:

= - =

Пример 2

Вычислить интеграл . Обозначим = . Согласно (8.4) получим:

= ( – ( - = ( -