Т.о., чтобы найти общее решение неоднородного уравнения , надо

Найти общее решение однородного уравнения и частное решение

Неоднородного.

Стало быть, возникает задача нахождения частного решения неоднородного уравнения. Рассмотрим четыре случая решения задачи методом неопределенныхкоэффициентов, когда правая часть имеет специальный (стандартный) вид.

Суть метода заключается в том, что частное решение ищут в заранее известном виде с неопределенными коэффициентами, конкретные значения которых находят подстановкой в исходное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых функциях в левой и правой частях.

(♠) , где - полином от степени (который, в частности, может быть константой, не равной нулю).

Если число 0 не является корнем характеристического уравнения, то следует искать в виде

,

где - полином той же степени с неопределенными коэффициентами.

Если же число 0 является корнем характеристического уравнения кратности , то следует искать в виде

.

П. 9.10

Корни характеристического уравнения . Общее решение однородного уравнения . Число 0 не является корнем характеристи-ческого уравнения частное решение ищем в виде . Теперь сог-ласно рецепту следует подставить в исходное уравнение, однако обычно придерживаются нижеследующей схеме.

-1

Во втором столбце стоят ипроизводные, в первом - коэффициенты, с которыми входят в уравнение; в третьем столбце приравнены коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях уравнения; в четвертом столбце приведены значения найденных неопределенных коэффициентов. Т.о., частное решение

.

Общее решение .

П. 9.11

Корни характеристического уравнения . Общее решение однородного уравнения . Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности частное решение ищем в виде . Далее, согласно схеме.

-4

Т.о., . Общее решение .

П. 9.12

Корни характеристического уравнения . Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности . Общее решение одно-родного уравнения . Частное решение ищем в виде . Далее, согласно схеме.

-1

Т.о., . Общее решение .

(♠♠) , где - полином от степени (который, в частности, может быть константой, не равной нулю); - вещественное число.