Комплексные

Каждому вещественному корню по-прежнему соответствует частное решения , а каждой паре комплексных сопряженных корней соответствуют два линейно-независимых частных решения:

.

Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образуют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют вещественным корням, и линейно-независимые частные решения, которые соответствуют каждой паре комплексно-сопряженных корней.

Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами .

П. 9.3

Находим корни характеристического уравнения или

. Один корень вещественный и пара комплексно-сопряженных корней (a =0, b =3, т. е. корни чисто мнимые).Фундаментальная система решений: . Записываем общее решение

.

П. 9.4

Характеристическое уравнение: ,

, (a =3, b =2). Фундаментальная система решений:

.

Общее решение .

П. 9.5 . Начальные данные: при .

Корни характеристического уравнения .

Фундаментальная система решений: .

Общее решение . Для определения констант находим .

.

При . Т.о., частное решение, удов-летворяющее заданным начальным условиям, имеет следующий вид:

.

(♠♠♠) Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.

В этом случае каждому вещественному корню кратности k соответствует k линейно-независимых частных решений вида

,

причем в формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации

,

а каждой паре комплексных сопряженных корней кратности k соответствуют 2 k линейно-независимых частных решения вида

В формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации

.

Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образуют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют вещественным простым и кратным корням, и линейно-независимые частные решения, которые соответствуют каждой паре простых и кратных комплексно-сопряженных корней.

Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами .

П. 9.6

Корни характеристического уравнения кратны, . Кратность вещественного корня . Фундаментальная система

решений: . Общее решение .

П. 9.7

Корни характеристического уравнения комплексны икратны, . Кратность пары комплексно-сопря-женных корней , (a =0, b =2, т. е. корни чисто мнимые). Фундаментальная система решений: .

Общее решение .

П. 9.8

Характеристическое уравнение имеетдвукратный вещественный корень и пару комплексно-сопряженных корней , . Фундаментальная система решений: .

Общее решение .

П. 9.9

Характеристическое уравнение имеетпростой вещественный корень и двукратную пару комплексно-сопряженных корней , корни чисто мнимые).

Фундаментальная система решений: .

Общее решение .

2°. Неоднородное уравнение. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

можно найти по формуле (формула верна и в том случае, когда коэффициенты не являются константами), где - частное решение неоднородного уравнения, а

- общее решение однородного уравнения.