Иногда правая часть уравнения не имеет стандартного вида, но с помощью преобразований может быть приведена к стандартному виду

П. 9.22

Правя часть не имеет стандартного вида. Однако, т.к. , то

. Теперь правая часть имеет стандартный вид.

Корни характеристического уравнения . Общее решение однородного уравнения .

Т.к.. для функции и число является корнем характеристического уравнения, то частное решение ; функции отвечает .

Итак, .

Т.о., . Общее решение .

П. 9.23 . Найтивид частного решения.

Корни характеристического уравнения .

Т.к. , то .

3°. Метод вариации произвольных постоянных. Метод пригоден для линейных уравнений (с постоянными и произвольными коэффициентами), если известна фундаментальная система соответствующего однородного уравнения. Общее решение в этом случае можно найти для правой части произвольного вида (необязательно стандартного).

Суть метода (метода Лагранжа) состоит в том, что общее решение ищется в виде

,

где - непрерывно дифференцируемые функции от x;

- фундаментальная система решений соответствующего однород-

ного уравнения; - порядок уравнения.

Функции определяются из системы:

где - правая часть заданного уравнения.

П. 9.24.

Корни характеристического уравнения . Фундаментальная система решений: . Общее решение ищем в виде:

. Записываем систему:

, .

Интегрируя, находим :

,

где - постоянные интегрирования. Общее решение:

.

П. 9.25

Корни характеристического уравнения . Фундаментальная система решений: . Общее решение ищем в виде:

. Записываем систему:

,

= .

.

Общее решение .

П. 9.26 . Фундаментальная система решений задана:

. Общее решение ищем в виде:

. Записываем систему:

, .

,

. .

Общее решение

.