Называется однородным линейным уравнением Эйлера

Уравнения (10.1) и (10.2) подстановкой приводятся к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Уравнения

и

приводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами при помощи замены

Рассмотрим примеры.

П. 10.1

Делаем замену Находим производные по переменной x, с учетом того, что x = x (t) и

= Подставляем в уравнение:

или значок t производных опущен. Получили уравнение с постоянными коэффициентами. Корни характеристического уравнения Возвращаемся к переменной x ( ):

П. 10.2

Делаем замену Находим производные по переменной x:

= Подставляем в уравнение:

или индекс t у производных для простаты опущен. Корни характеристического уравнения

Общее решение однородного уравнения Частное решение ищем в виде ; подставляем в уравнение:

A =0.5. Общее решение Возвращаемся к переменной x ( ):

П. 10.3

Делаем замену Производные были найдены в двух предыдущих

примерах: Подставляем в уравнение:

Корни характеристического уравнения

Общее решение Возвращаемся к переменной x ( ):

П. 10.4

Домножая обе части уравнение на x ², можно придать ему стандартный вид уравнения Эйлера, (при этом появится постороннее решение x =0). Поэтому лучше сразу ввести замену

Производные были найдены ранее: Находим :

Подставляем в уравнение:

или, опуская индекс t,

получаем Корни характеристического уравнения Общее решение Возвращаемся к переменной x ( ):