Уравнение в полных дифференциалах

1°. Уравнение

(7.1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U (x, y) и следовательно его можно записать в виде:

dU =0 U =const=c

Например, уравнение xdy+ydx =0, есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно записать в виде d(xy) =0 и, значит, xy =c.

Если функции M и N в области задания непрерывны и имеют частные производные соответственно по y и по x, то для того чтобы уравнение (7.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

(7.2)

Если условие (7.2) выполнено, то решение можно записать в виде

(7.3)

либо

, (7.4)

где – произвольная точка в области задания функций M и N.

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , в случае когда функции M и N не обращаются одновременно в 0 в точке , можно найти обычным путем, определив константу c из общего решения, а можно в формулах (7.3) и (7.4) положить :

(7.5)

либо

(7.6)

П. 7.1.

Проверяем выполнение условий (7.2). уравнение в полных дифференциалах. Полагаем тогда По формуле (7.3) находим , - общий интеграл.

П. 7.2

Проверяем выполнение условий (7.2). уравнение в полных дифференциалах. Полагаем c =0, тогда По формуле (7..5) находим

,

2°. Существуют уравнения вида (7.1) , которые не являются уравнениями в полных дифференциалах, но после умножения обеих частей уравнения на некоторую функцию получается уравнение в полных дифференциалах

Функция называется интегрирующим множителем, а функция U соответствующим ему интегралом уравнения (7.1).

Ясно, что если заданное уравнение уже является уравнением в полных дифференциалах, то

Интегрирующий множитель должен удовлетворять уравнению с частными производными: (7.7)

Если заранее известно, что является некоторой функцией от , , где заданная функция от то уравнение (7.7) сводится к линейному уравнению относительно неизвестной функции , зависящей от переменной :

, (7.8)

где . (7.9)

Решив уравнение (7.8), найдем интегрирующий множитель .

В частности, если выполнено условие

либо , (7.10)

то интегрирующий множитель либо .

П. 7.3

Проверим, не имеет ли уравнение интегрирующий множитель, зависящий только от x:

. Умножая обе части исходного уравнения на , получим:

.

Легко проверить, что получено уравнение в полных дифференциалах. Действительно,

. Далее, ,

- общий интеграл.

П. 7.4

Проверяем выполнение условий (7.10): ,

,

Т.о., . По формуле (7.3) при имеем

- общее решение.

П. 7.5 . Известно, что ,

найти интегрирующий множитель. По формуле (7.9) находим:

.

П. 7.6 . Известно, что ,

проинтегрировать уравнение. По формуле (7.9) находим:

. Умножая обе части исходного уравнения на , получаем: - уравнение в полных дифференциалах. По формуле (7.3) при находим , , - общий интеграл.

Следует иметь в виду, что при умножении обеих частей уравнения на интегрирующий множитель может появиться постороннее решение – точки кривой .

Замечание. Полезно обратить внимание на то, что уравнения с разделяющимися переменными, однородные, обобщенные однородные и уравнения в полных дифференциалах имеют одинаковый внешний вид.