Линейное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение

(6.1)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Делаем замену , где – функции от x. Так как , то после подстановки и в уравнение (6.1), получаем или, группируя члены,

(6.2)

Функцию выберем так, чтобы выполнялось равенство

, или . Пусть решением этого дифференциального уравнения с разделенными переменными является функция , тогда при таком выборе функции v из уравнения (6.2) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными или ,

. Пусть общим решением этого уравнения является функция , тогда функция - общее решение уравнения (6.1).

РЕЗЮМЕ:

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными:

и , искомая функция .

П.6.1

Убеждаемся, что уравнение линейное первого порядка относительно искомой функции , причем Делаем замену тогда . Подставляем y и в последнее уравнение: Группируем Функцию v находим из условия . Разделяем переменные v и x:

или , . Интегрируя последнее уравнение, находим , . получаем из сгруппированного уравнения, что или

Сокращаем на : , . Таким образом, общим решением заданного уравнения является функция .

П.6.2

Вначале представим уравнение в стандартном виде:

Убеждаемся, что оно линейное первого порядка относительно искомой функции у(x) . Далее поступаем по шаблону. Делаем замену . В последнее уравнение подставляем новые значения и и группируем члены:

, далее, решаем дифференциальное уравнение

, , т.к. , то получаем, что , , . Решая дифференциальное уравнение , находим u: , , , c – постоянная интегрирования. Т.о., - общее решение.

П.6. 3 Найти частное решение уравнения, удовлетворяюшее начальным данным

, .

Делаем замену , тогда ; далее, по шаблону находим , , т.к. , то , , , - общее решение.

Используя начальные данные, находим частное решение:

- частное решение.

Иногда линейное уравнение задают в дифференциалах, при этом линейность уравнения явно не видна, что создает трудности в определении типа уравнения. В таком случае надо уравнение привести к стандартному виду.

П.6. 4 .

После деления обеих частей уравнения на , получаем линейное уравнение:

.