Обобщенное однородное уравнение

Уравнение , (5.1)

можно привести к уравнению с разделяющимися переменным, если оно является обобщенным однородным, т.е. если существует такое число k, что левая часть уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx, dy, при этом считается, что x величина первого измерения, y величина k – го измерения (ясно, что тогда величины dx и dy соответственно нулевого и (k- 1 ) – го измерения; величина (k- 1 ) – го измерения). Если такое k найдено, то после замены

уравнение (5.1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

П. 5.1.

Члены левой части имеют соответственно измерения .

Измерения всех членов должны быть равными. Из этого условия находим k:

. Делаем замену . С другой стороны из уравнения

,

. Так как , то

∫ 3∫ , ,

, , - общее решение.

П. 5.2.

Иэмерения членов , , соответственноравны 2+2 k+k- 1, k- 1, 3k+ 1; из равенств 3k+ 1 =k- 1 =3k+ 1 находим уравнение обобщенное однородное. Делаем замену . С другой стороны

,

∫ ∫ . Так как , то

∫ ∫ ,

- общий интеграл.

П. 5.3.

Иэмерения членов , , соответственноравны

из равенств 5k- 1 =k+ 1 =k+ 1 . Делаем замену , =

= . С другой стороны

, . Так как

, то 2∫

=∫ , , , - общий

интеграл.