Уравнение с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

(3.1)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Умножая обе части уравнения на , получаем уравнение

(3.2)

В уравнении (3.2) коэффициент при dx зависит только от x, а коэффициент при dy зависит только от y. Значит, в уравнении (3.2) переменные разделены. Интегрируя, получаем:

∫ +∫

П.3.1 . Найти частное решение уравнения,удовлетворяющее начальным данным: при x= 1, y= 1.

Преобразуем уравнение ; . Умножая оби части уравнения на , получаем уравнение с разделенными переменными . Интегрируем:

∫ +∫ ; ∫ +∫ ;

; .

По начальным данным находим c (в последнее уравнение подставляем x= 1, y =1):

1+1+0= c, c =2; - искомое частное решение.

П. 3.2

Заменяем на : , переменные

разделились. Интегрируем: ∫ =∫ , ,

- общее решение.

Практически решение большинства типов дифференциальных уравнений сводится к решению уравнений с разделяющимися переменными, методы сведения разнообразны и зависят от типа уравнения.

Например, в уравнении

(3.5)

где a и b константы можно разделить переменные, сделав замену z=ax+by.

Так как , то , переменные разделились,

интегрируем ∫ =∫ .