Однородные уравнения. в котором M и N - однородные функции одной и той же степени, называется однородным уравнением.Функция f(x,y) называется однородной функцией степени k

Уравнение

, (4.1)

в котором M и N - однородные функции одной и той же степени, называется однородным уравнением. Функция f(x,y) называется однородной функцией степени k, если при всех t выполняется тождество . Например, функция – однородная второй степени, т.к. ; функция – однородная первой степени; функция - однороднаятретьей степени.

Записываем уравнение (4.1) в виде:

.

Делаем замену .

Пусть функции имеют степень однородности k, тогда

-

уравнение с разделенными переменными. Пусть общее решение последнего уравнения, тогда - общее решение уравнения (4.1).

П. 4.1..

M(x,y)=x(x+2y), N(x,y)=x²-y². Легко проверить, что функции M и N однородные второй степени. Делаем замену y=zx; находим : . С другой стороны из заданного уравнения или

, ,

. Так как , то ∫ = =∫( ), , подставляя вместо , получаем общий интеграл: .

П. 4.2.

Функции M=y и N=y-x однородные первой степени. Поступаем по шаблону: y=zx, ,

∫ ∫ , или ∫ ∫ , , подставляя в это уравнение , находим общий интеграл:

, , .

П. 4.3..

Выделить интегральную кривую, проходящую через точку т.е.найти частное решение, удовлетворяющее начальным данным: .

Уравнение однородное первой степени. Делаем замену y=zx, ,

, или

, ∫ ∫ , , подставляя в это уравнение , находим , , подставляя начальные данные, находим 0+ , с= 1 - искомое частное решение.