Дифференциальные уравнения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее независимую переменную x, неизвестную функцию y и её производные :

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее независимую переменную x, неизвестную функцию y и её производные :

(1.1)

Порядок старшей производной уравнения (1.1) называется порядком урав-нения.. Решениемуравнения (1.1) называется функция , обращающая уравнение в тождество. Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциальногоуравнения. График решения на плоскости (x,y) называется интегральной кривой.

Например, функция удовлетворяет уравнению и поэтому является его решением, однако это решение не единственно, т.к. семейство функций , где c – произвольная константа, также решение уравнения. Говорят, что функция (семейство функций) является общим решением. Общее решение может быть найдено в явном, параметрическом или неявном виде, в любом случае оно должно зависеть от n констант Если общее решение получено в неявном виде, то его часто называют общим интегралом уравнения.

Всякое решение, получающееся из общего при некоторых конкретных значениях констант, называется частным решением. Так, в рассмотренном примере решение является частным, оно получается из общего при Задачу нахождения частного решения в общей постановке можно сформулировать следующим образом:

найти частное решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям:

(1.2)

Геометрически это означает, что интегральная кривая частного решения должна проходить через точку (x ₀,y₀) и иметь заданные производные в этой точке, равные указанным значениям. Условия (1.2) называются начальными данными.

В общем случае не всякое решение получается из общего при конкретных (числовых) значениях констант. Решение, которое не содержится в общем решении ни при каких чис-

ловых значениях констант, называется особым решением.

При решении дифференциальных уравнений следует иметь в виду, что существуют типы уравнений, для которых известны шаблонные методы решения. Поэтому процесс решения разбивается, как правило, на три этапа: