Разложение функций в степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида:

,

где называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, так как любой степенной ряд сходится при .

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда

является функцией переменной х. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной х, определенной в области сходимости ряда: .

Рассмотрим теорему, имеющую важное значение в теории степенных рядов и касающуюся области сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. (Абель Нильс Хенрик (1802—1829) — норвежский математик).

1) Если степенной ряд сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию ;

2) если степенной ряд расходится при , то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию .

Теорема Абеля утверждает, что если - точка сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных на интервале () этот ряд сходится абсолютно, а если - точка расходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных вне интервала () ряд расходится.

Отсюда вытекает следующая теорема:

Если ряд сходится не при всех значениях х и не только при , то существует число такое, что ряд абсолютно сходится при и расходится npu .

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Отметим, что интервал сходимости у некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут ), у других вырождается в одну точку ().

Итак, всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R. При ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда.

Приведем способ определения радиуса сходимости степенного ряда по признаку Даламбера.

Если существует предел , то радиус сходимости ряда равен .