Пример решения типового задания

Задание №1

Дано комплексное число .

1. Записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив его на комплексной плоскости.

2. Вычислить .

Решение:

1. Приведем к алгебраической форме комплексного числа. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное знаменателю. Получим:

Итак, алгебраическая форма комплексного числа , причем

Запишем в тригонометрическом виде, используя формулу (1): Имеем: , ; ,

Изобразим на комплексной плоскости:

.

В показательной форме: .

2. Вычислим , используя формулу (2):

Ответ: 1. ;

2.

Пример 2.

1. Решить уравнение .

2. Записать корни уравнения и в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив их на комплексной плоскости.

Решение:

1. Найдем корни данного квадратного уравнения по известной формуле

, зная, что .

(Знак используется как квадратный корень из комплексного числа!)

Получим два комплексно сопряженных корня

.

2. Имеем алгебраическую форму и .

Действительная и мнимая часть, соответственно, равны:

Изобразим и на комплексной плоскости:

Запишем числа и в тригонометрической и показательной форме. Имеем: , , ;

y

.

, ;

;

.

Найдем и , используя тригонометрическую форму.

Ответ:

Задание № 2

Вычислить пределы.