Непрерывность функции в точке. Функция называется непрерывной в точке , если

Функция называется непрерывной в точке , если

. (4)

Указанное равенство предполагает, что функция определена в точке

и её окрестности и имеет предел при .

Равенство (4) эквивалентно равенству

, (5)

где - лево и правосторонние пределы функции в точке .

Известно, что элементарные функции непрерывны в каждой точке, в которой они определены.

Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называются точками разрыва функции. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа и . При этом, если , то точка называется точкой устранимого разрыва; а если , то точкой конечного разрыва.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке не существует или равен бесконечности.