Примеры. Задание 1: Найдите общее решение уравнения

Задание 1: Найдите общее решение уравнения .

Решение: Разделив переменные, имеем . Интегрируем обе части полученного уравнения:

; .

Так как произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо мы написали . Потенцируя последнее равенство, получим .

Это и есть общее решение данного уравнения.

Задание 2: Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение: Разделив переменные, имеем . Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

; ,

или

, .

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной подставим значения и в выражение для общего решения: , или , откуда .

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид .

Задание 3: Найдите общее решение уравнения .

Решение: Это линейное уравнение: здесь , . Положим и продифференцируем это равенство по :

.

Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим

,

или

. (*)

Так как одну из вспомогательных функций или можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения . Разделив в этом уравнении переменные и проинтегрируя, имеем , ; , (произвольную постоянную принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений).

Подставим теперь выражение для в уравнение (*); тогда получим уравнение , или .

Отсюда находим ; .

Зная и , теперь получим общее решение данного уравнения:

.