Теоретический материал. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производные или дифференциалы

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

, , .

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

.

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

,

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

.

Уравнение вида , где и - функции от , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частности и могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где и - новые функции от .