Примеры. Задание 1: Вычислить повторный интеграл

Задание 1: Вычислить повторный интеграл .

Решение: Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной , считая постоянным:

.

Задание 2: Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной прямыми , , и .

Решение: Область является простой относительно осей и (рис. 1), поэтому для вычисления интеграла можно использовать любую из формул или . Сначала вычислим двойной интеграл по первой формуле: . Вычислив внутренний интеграл по переменной при постоянном , находим

. Подставив это выражение во внешний интеграл, получим .

Теперь вычислим двойной интеграл по второй формуле . Найдем внутренний интеграл: . Далее найдем внешний интеграл: , то есть получили тот же ответ.