Теоретический материал. Уравнение, содержащее производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка

Уравнение, содержащее производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:

.

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

, (1)

где и - постоянные величины.

Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение

, (2)

которое получается из уравнения (1) заменой , и на соответствующие степени , причем сама функция заменяется единицей.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от корней и характеристического уравнения (2). Здесь возможны три случая.

I случай: Корни и - действительные и различные. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид

. (3)

II случай: Корни и - действительные и равные: . Тогда общее решение уравнения (1) записывается так:

. (4)

III случай: Корни и - комплексно – сопряженные: , . В этом случае общее решение уравнения (1) записывается следующим образом:

. (5)