Теоретический материал. Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области плоскости задана непрерывная функция , где точка

Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области плоскости задана непрерывная функция , где точка . Разобьем эту область произвольным образом на частичных плоских ячеек , имеющие площади . В каждой такой ячейке выберем по одной произвольной точке и вычислим значения функции во взятых точках. Составим так называемую интегральную сумму функции по области :

. (1)

Двойным интегралом от функции по области называется предел интегральной суммы (1) при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех ячеек данного разбиения:

(2)

Диаметром фигуры называется наибольшее из расстояний между ее точками.

Основные свойства двойного интеграла

1. Двойной интеграл по области от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций по этой же области:

.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла:

.

1. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части, то есть если область состоит из двух непересекающихся областей и , то

.