Тема: Полное исследование функции. Построение графиков
Цель: Формирование навыков исследования функции и построения графиков
На выполнение практической работы отводится 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы
2.Оформить задания в тетради для практических работ
Теоретический материал
Общая схема построения графиков функций
- Найти область определения функции.
- Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
- Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).
- Найти асимптоты графика функции.
- Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.
- Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
- Построить график, используя полученные результаты исследования.
Пример
Построить график функции
.
Решение:
- Функция определена на всей числовой оси, то есть
. - Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.
- Найдем точку пересечения графика с осью
: полагая
, получим
. Точки пересечения графика с осью
в данном случае найти затруднительно. - Очевидно, что график функции не имеет асимптот.
- Найдем производную:
. Далее, имеем
Точки
и
делят область определения функции на три промежутка:
,
и
. В промежутках
и
, то есть функция возрастает, а в промежутке
, то есть функция убывает. При переходе через точку
производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку
- с минуса на плюс. Значит,
,
. - Найдем вторую производную:
;
,
. Точка
делит область определения функция на два промежутка
и
. В первом из них
, а во втором
, то есть в промежутке
кривая выпукла вверх, а в промежутке
выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба
. - Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 1).