Построение кубического сплайна

Пусть на отрезке [a,b] задана сетка ; известны табличные значения функции в узлах этой сетки.

Потребуем, чтобы сплайн S(x) удовлетворял следующим условиям:

а) на каждом сегменте являлся полиномом третьей степени;

б) был непрерывен вместе с первой и второй производными на [a,b];

в) совпадал со значениями аппроксимируемой функции в узлах сетки.

Сплайн S(x) на каждом сегменте отрезка строится в виде

; (4.8)

Первые и вторые производные:

,

,

двух “соседних” сплайнов S_k(x) и S_k+1(x) в общей точке должны удовлетворять условию б), откуда получаем систему уравнений (условия непрерывности сплайна и его производных):

, ,

.

И, наконец, условия в) дают выражения

.

Обозначим длины отрезков. Теперь предыдущие выражения можно записать в виде системы алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов :

, (4.9)

, (4.10)

, (4.11)

. (4.12)

Система (4.9) - (4.12) содержит (4n - 3) уравнения с (4n) неизвестными. Учтем дополнительно, что для точки имеет место соотношение

.

Используя соотношения (4.12), в последнем выражении и уравнениях (4.9) можно исключить “лишние” неизвестные , а сами уравнения записать в форме

. (4.13)

В результате система (3n-2) уравнений (4.10), (4.11) и (4.13) содержит 3n неизвестных .

Для “замыкания“ этой системы уравнений положим

, (4.14)

, (4.15)

что соответствует “нулевым” кривизнам в начальной и конечной точках, то есть “свободным” концам сплайна. Возможны и иные условия для замыкания системы уравнений, например, указание значения производной (наклона касательной) в конечной или начальной точках, и некоторые другие.

Условие (4.14) с помощью выражения (4.8) удобно представить в форме

,

а формулу (4.15) - в виде

,

что позволяет переписать уравнения (4.11)

(4.16)

В итоге получена система (3n+1) уравнений (4.10), (4.13), (4.16), содержащих (3n+1) неизвестную величину.

Рассмотрим два уравнения вида (4.13)

Подставим полученные выражения для в уравнения (4.10):

.

Формулы (4.16) позволяют получить выражения

,

благодаря чему предыдущая формула преобразуется к виду:

Приводя подобные слагаемые и учитывая условия (4.14) и (4.15), получаем

(4.17)

В итоге всех преобразований получена система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов. После определения всех неизвестных величин определяются остальные коэффициенты сплайнов