![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Покажем, что при неограниченном увеличении числа n узлов на отрезке [a,b] последовательность сплайн-функций сходится к интерполируемой функции.
Для упрощения рассмотрим последовательность сеток с равномерными расположениями узлов:
.
В этом случае система уравнений (4.17) принимает более простой вид
Пусть аппроксимируемая функция f(x) непрерывна вместе со своими производными вплоть до четвертого порядка, то есть , а также имеют место равенства
.
Обозначим:
- чебышевская норма на отрезке [a,b];
- чебышевская норма на сеточной области
;
- разностный аналог второй производной аппроксимируемой функции f(x);
.
Теперь система уравнений (4.17) выглядит следующим образом:
(4.18)
Лемма 4.1. Для всех справедлива оценка
.
Доказательство. В силу определения введенной нормы на сеточной области необходимо проверить точки , для которых
.
Обозначим погрешность
.
Для k = 0 и k = n, в частности, .
Уравнения (4.18) в новых обозначениях принимают вид
(4.19)
Обозначим
(4.20)
,
причем
- разностный аналог второй производной функции в точке
.
Воспользуемся формулами Тейлора:
,
.
Аналогичным образом построим разложение для функции :
,
.
Теперь можно оценить разностные аппроксимации производных:
,
.
Подставим полученные выражения в формулы (4.20):
.
Отсюда получаем
Теперь, согласно формулам (4.19), получаем
,
.
Поскольку эта оценка имеет место во всех точках сеточной области , то она справедлива и в точке, где
достигает максимума, то есть
.
Следовательно,
,
,
откуда сразу следует утверждение леммы 4.1.
Теорема 4.3. Для любой функции справедливы оценки:
, (4.21)
, (4.22)
. (4.23)
Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок . Согласно определению сплайна (4.8), а также учитывая формулы (4.11), получаем
.
Несложно проверить справедливость следующего тождества:
(4.24)
Оценим первое слагаемое в правой части (4.24):
.
Проведем оценку второго слагаемого. Согласно формуле Тейлора
,
.
Отсюда получаем соотношения для разностей
,
.
Теперь можно преобразовать второе слагаемое в правой части формулы (4.24):
.
Произведем оценку:
.
При выводе последнего соотношения учтено, что
.
Теперь можно оценить левую часть тождества (4.24):
. (4.25)
Учитывая, что выражение (4.25) справедливо для любого отрезка, его можно использовать и для оценки погрешности на всем участке
:
.
Отсюда получаем
,
то есть утверждение (4.23) теоремы.
Для доказательства соотношения (4.22) введем на отрезке вспомогательную функцию
. В силу определения сплайна,
. Но тогда, в соответствии с теоремой Ролля[29], существует хотя бы одна точка
.
В этом случае, используя теорему Лагранжа, можно произвести оценку
,
откуда, с учетом соотношения (4.25), получаем
.
Поскольку это неравенство справедливо на любом отрезке , с его помощью можно получить получить утверждение (4.22) теоремы:
.
Для получения последнего утверждения (4.21) построим на отрезке функцию
.
Из условия обращения этой функции в нуль для произвольно выбранного значения
определим значение константы
.
Очевидно, что теперь
.
Это означает, что существует хотя бы одна точка . Отсюда получаем
,
,
.
Отсюда, с использованием неравенства (4.25), следует оценка отклонения значения сплайн-аппроксимации от значения функции для выбранной точки :
.
Здесь учтено, что
.
Поскольку последнее неравенство справедливо для любого , получим выражение (4.21) теоремы:
,
что и требовалось доказать.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 543 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!