Метод простых итераций. Из выражения (3.10) можно получить систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых неизвестных:

Из выражения (3.10) можно получить систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых неизвестных:

.

В частном случае стационарного итерационного метода, когда , последнее выражение преобразуется к виду

.

Иначе говоря, исходная итерационная процедура сводится к схеме метода простых итераций:

. (3.11)

Вектор , для которого , называется неподвижной точкой оператора F. Очевидно, что вектор X является решением уравнения X = F (X) тогда и только тогда, когда он является неподвижной точкой.

Оператор F является сжимающим на множестве с коэффициентом сжатия С, если имеет место

.

Теорема 3.3. Пусть оператор F определен на множестве и является сжимающим на этом множестве с коэффициентом сжатия С, причем

.

Тогда в А оператор F имеет единственную неподвижную точку и итерационный метод (3.11) сходится к при любом начальном . Имеет место оценка погрешности:

.

Доказательство этой теоремы изложено в книгах [4, 9].