Метод простых итераций. Этот метод заключается в замене уравнения (3.1) эквивалентным ему уравнением вида

Этот метод заключается в замене уравнения (3.1) эквивалентным ему уравнением вида

. (3.2)

После этого строится итерационный процесс

(3.3)

при некотором заданном значении . Для приведения выражения (3.1) к требуемому виду (3.2) можно воспользоваться простейшим приемом:

Если в выражении (3.2) положить , можно получить стандартный вид итерационного процесса для поиска корней нелинейного уравнения:

.

Пример 3.1. Решим уравнение cos(x) - x = 0. Представим это уравнение в виде

.

Результаты расчетов приведены в табл. 3.1. Ход итерационного процесса отражен на рис. 3.3.

Таблица 3.1

Результаты итерационного вычисления корня уравнения cos(x) - x = 0

Номер итерации	Аргумент x
	1,0
	0,540302306
	0,857553216
	0,654289791
	0,793480359
	0,701368774
	0,763959683
	0,722102425
	0,750417762
...	...
	0,739078886
	0,739089341

Корень уравнения (с абсолютной погрешностью не более ) равен 0,739085133.

Рис. 3.3. Поиск корня нелинейного уравнения cos(x) - x = 0

Рассмотрим отрезок длиной 2r с центром в точке a: .

Теорема 3.1. Если функция на отрезке А удовлетворяет условию Липшица[18] с константой 0 < С < 1, причем

, (3.4)

то уравнение (3.2) имеет на отрезке А единственное решение , метод простой итерации сходится к при любом и имеет место оценка

. (3.5)