Доказательство. Докажем “по индукции”, что определяемые в соответствии с формулой (3.2) величины

Докажем “по индукции”, что определяемые в соответствии с формулой (3.2) величины .

по условию теоремы.

Пусть ; покажем, что и .

В силу имеем

то есть .

Теперь оценим разность получаемых решений для произвольного n:

.

Отсюда получаем

.

Для двух произвольных значений (для определенности положим p > q) на основании этого соотношения имеем

При выводе последнего соотношения использована формула для суммы членов геометрической прогрессии со знаменателем С, а также условие, что 0 < C < 1, и тем более .

Очевидно, что при имеет место

,

и в соответствии с признаком Больцано - Коши[19]

.

Переходя к пределу в соотношении , в силу непрерывности функции получаем:

,

то есть - решение уравнения (3.2).

Теперь покажем, что получаемое решение единственно. В самом деле, пусть - два различных решения уравнения (3.2). Тогда

,

что может иметь место при условии 0 < C < 1 лишь в случае .

Оценим погрешность метода простой итерации после выполнения N итераций:

,

откуда получаем:

.

Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Если , а также имеет место соотношение

,

то уравнение (3.2) имеет единственное решение, метод простых итераций сходится и имеет место оценка (3.5).

Действительно, согласно теореме Лагранжа[20],

,

то есть в качестве константы условия Липшица можно принять

.

В этом случае условия теоремы (3.1) выполняются и все ее утверждения имеют место.

Метод Ньютона [21]

Для поиска корней уравнения (3.1) в окрестности решения выберем точку x и разложим функцию f(x) в ряд Тейлора[22] возле этой точки:

.

Отсюда следует приближенное равенство

,

которое с учетом

позволяет получить выражение

,

приводящее к итерационному процессу следующего вида:

. (3.6)

Очевидно, что метод Ньютона можно рассматривать как вариант метода простых итераций, при условии .

Геометрическая иллюстрация итерационного процесса метода Ньютона приведена на рис. 3.4, из которого понятно, что каждое следующее приближение может быть определено из геометрических построений:

.

f(x)     f(x0)     f(x1)     f(x2) a   x3 x2 x1 x0 x

Рис. 3.4. Геометрический смысл процедуры метода Ньютона

Пример 3.2. Требуется определить корни уравнения .

Согласно рассмотренному методу Ньютона строится итерационная процедура

.

Поскольку

,

.

Таким образом, применение процедуры метода Ньютона к заданному уравнению приводит к вычислительному процессу

.

Для а=2 “точное” решение . Результаты расчетов приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Последовательность получения приближенного решения

уравнения методом Ньютона

Номер итерации	Приближения решения
	2,0	-10,0
	1,5	-5,1
	1,416666667	-2,746078431
	1,414215686	-1,737194874
	1,414213562	-1,444238095
	1,4142135624	-1,414525655
	1,4142135624	-1,414213597
	1,4142135624	-1,4142135624

Теорема 3.2. Пусть выполнены следующие предположения:

- - корень уравнения f(x) = 0;

- первая производная ;

- вторая производная непрерывна в А;

- константа , где .

Тогда, если , то метод Ньютона сходится, причем

. (3.7)