Метод Ньютона

Как и ранее, выберем в окрестности решения вектор X и воспользуемся формулой Тейлора для функций :

,

где .

С учетом того, что , итерационная процедура метода Ньютона принимает форму

.

В матричной записи последнее соотношение имеет вид:

, (3.12)

где вид матрицы определен выше. Сравнение формулы (3.12) с выражением (3.10) позволяет определить итерационные параметры:

.

Соотношение (3.12) позволяет построить вычислительный итерационный алгоритм:

.

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия:

1. Оператор F(X) определен в замкнутом шаре , дважды дифференцируем там, при этом вторая производная ограничена .

2. имеет обратный оператор, для нормы которого выполнена оценка

.

3. Для начального приближения верно неравенство

.

4. Величины M, D, S удовлетворяют условию

.

5. Для числа r верно неравенство

.

Тогда:

- в заданном шаре радиуса r уравнение F(X) = 0 имеет решение;

- в вычислительном процессе Ньютона (3.12) приближение может быть построено при любом значении n; все принадлежат шару и последовательность сходится к решению уравнения;

- для приближения верна оценка:

,

где есть наименьший корень уравнения

,

- приближение к нему, построенное при начальном приближении .

Доказательство теоремы 3.4 приведено в книге [4].

В качестве модификации метода Ньютона (3.12) может рассматриваться вариант

,

при котором матрица формируется и обращается лишь один раз для начального приближения .

Нелинейный вариант метода Якоби

Для системы нелинейных уравнений вида

итерационный процесс строится так, что из каждого уравнения системы определяется значение только одной неизвестной , а значения остальных берутся с предыдущего шага,

.

При этом определение искомой величины на очередной итерации производится с помощью какого-либо известного метода решения одного нелинейного уравнения.

Нелинейный вариант метода Зейделя

В отличие от метода Якоби при определении неизвестной на очередной итерации используются уже найденные предыдущие неизвестные:

.

Пример 3.4. Решить систему нелинейных алгебраических уравнений

Решение этой системы нелинейных уравнений с погрешностью имеет вид:

где - комплексная единица.

Воспользуемся методом Ньютона для отыскания корней уравнений этой системы.

Представим итерационный процесс Ньютона в форме:

;

Теперь на каждом итерационном шаге необходимо решать полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных .

В явной форме решение полученной системы имеет вид

Результаты расчетов приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Решение методом Ньютона системы нелинейных уравнений из примера 3.4

Номер итерации	x(n)	y(n)
	1,5	1,8
	1,35	1,791304348
	1,338446055	1,791287848
	1,338390022	1,791287848
	1,338390021	1,791287848
	1,338390021	1,791287848

Контрольные вопросы и задания

¨ Сформулируйте задачу о нахождении корней нелинейного уравнения.

¨ Опишите метод половинного деления для вычисления корней нелинейного уравнения. Поясните геометрический смысл метода половинного деления.

¨ Опишите метод простых итераций для вычисления корней нелинейного уравнения. Поясните геометрический смысл этого метода.

¨ Сформулируйте критерии остановки итерационного вычислительного процесса при определении корней нелинейного уравнения. Сходимость (расходимость) итерационного решения.

¨ Сформулируйте условия сходимости метода простых итераций для одного нелинейного уравнения.

¨ Опишите метод Ньютона для вычисления корней нелинейного уравнения.

¨ Поясните геометрический смысл метода Ньютона.

¨ Сформулируйте условия сходимости метода Ньютона для нелинейного уравнения.

¨ Приведите возможные модификации метода Ньютона для определения корней нелинейного уравнения.

¨ Применение метода простых итераций для решения системы нелинейных уравнений.

¨ Сформулируйте условия сходимости метода простых итераций для системы нелинейных уравнений.

¨ Поясните порядок применение метода Ньютона для решения системы нелинейных уравнений.

¨ Сформулируйте условия сходимости метода Ньютона для системы нелинейных уравнений.

¨ Опишите решение системы нелинейных уравнений методом Якоби.

¨ Опишите решение системы нелинейных уравнений методом Зейделя.