Доказательство. Для оценки погрешности решения воспользуемся формулой Тейлора для функции f(x) возле точки :

Для оценки погрешности решения воспользуемся формулой Тейлора для функции f(x) возле точки :

.

В силу получаем соотношение

.

С другой стороны, согласно методу Ньютона,

.

Отсюда,

, (3.8)

то есть имеет место квадратичная сходимость.

Пусть . Из формулы (3.8) получаем

,

то есть оценка (3.7) выполнена для N=1. Допустим, что формула (3.7) верна для произвольного q. С учетом условия С<1, имеем

,

то есть , а следовательно определены

.

Из соотношения (3.8) получаем

Согласно (3.7)

.

С учетом этого, из предыдущего выражения следует:

Но это как раз и означает, что формула (3.7) справедлива при N = q+1.

В силу C<1 из выражения (3.7) следует сходимость метода Ньютона:

,

что и требовалось доказать.