Интерполяционный многочлен Ньютона

Для произвольной функции y(x) определим разделенные разности:

- первая разделенная разность

,

- вторая разделенная разность

,

- третья разделенная разность

,

и так далее.

Рассмотрим геометрический смысл разделенных разностей. Очевидно, что и являются аналогами первых производных функции y(x) на соответствующих отрезках и . Вторая разделенная разность аппроксимирует вторую производную функции y(x) на отрезке . Соответственно, третья разделенная разность - аналог третьей производной на отрезке , и так далее.

Пусть - искомый интерполяционный многочлен. Запишем для него разделенные разности:

,

,

,...

Отсюда получаем выражение для полинома в виде схемы Горнера[25]:

Иначе это выражение можно записать в такой форме:

Эта цепочка конечна и содержит (n+1) слагаемое. В самом деле, - полином степени n; разность при обращается в нуль, то есть является корнем выражения , и следовательно, оно без остатка делится на разность . Но в этом случае

оказывается полиномом степени (n-1).

Соответственно, - полином степени (n-2), и так далее. В итоге, - полином степени (n-n) = 0, то есть константа, и наконец, .

В силу условия (4.1) имеет место , откуда получаем

,

либо по схеме Горнера

.

Пример 4.1. Построить аппроксимацию функции sin(x) на отрезке [0, p/2].

Таблица 4.1

Таблица для интерполяции функции sin по 4 точкам

		0,954929659
/6	0,5		-0,244340364
		0,699057028		-0,113871899
/3	0,866025404		-0,423209925
		0,255872631
/2	1,0

Схема Горнера для аппроксимации заданной функции имеет вид

.

Для значения аргумента , отсутствующего в таблице, значение построенного полинома принимает значение, равное .

Вычисление функции sin с погрешностью не более дает . Таким образом, относительная погрешность вычисления составляет 0,172 %.

Пример 4.2. Определение корня нелинейного уравнения методом обратной интерполяции.

Идея метода обратной интерполяции заключается в построении полинома Ньютона для функции x(y) по заданной зависимости y(x). Особенность данного случая - необходимость построения полинома Ньютона на сетке с переменным шагом по координате .

Таблица 4.2

Таблица для построения обратной интерполяции функции x(y)

-1,083564434	0,25
		0,490578385
-0,573961875	0,5		-0,077430171
		0,403097823		0,013912025
0,046234976	0,75		-0,051261555
		0,3327975
0,797442541	1,0

Интерполяционный полином Ньютона имеет вид

Для y = 0 получаем: x(0) = 0,73301752. Точное решение x = 0,732941247 (невязка уравнения при этом корне равна ). Относительная погрешность вычисления корня равна 0,0104 %.