Метод скорейшего спуска

Относительно погрешности итерационная схема Ричардсона, как это было уже показано ранее, принимает вид:

.

Отсюда, погрешность

.

Определим выражение

При выводе последнего соотношения использована симметричность матрицы А,

.

Полученное выражение может рассматриваться как квадратичная функция итерационного параметра . Воспользуемся теоремой Ферма для нахождения значения итерационного параметра, доставляющего экстремум этому выражению,

Вторая производная

положительна в силу положительной определенности А, то есть выражение принимает наименьшее значение при найденном .

Вспоминая, что - невязка решения системы уравнений, получаем

.

Погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений методом скорейшего спуска оценивается выражением

,

где - наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы А; n - номер итерации.