 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
НелинейныЕ уравнения
|
|
Пусть известна некоторая нелинейная зависимость вида y = f(x). Требуется определить все те значения аргумента 
, которые обращают функцию в нуль:
. (3.1)
Для поиска корней нелинейных уравнений, как правило (за небольшим исключением: квадратные, кубические, некоторые трансцендентные уравнения) используются итерационные методы.
Первоначально рассматриваются методы решения одного нелинейного уравнения, а затем - системы нелинейных уравнений.
Методы вычисления корней нелинейного уравнения [16]
Метод половинного деления [17]
Метод основан на одной из теорем математического анализа. Согласно [10], функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нуль внутри интервала.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке 
. Процедура метода заключается в последовательном сокращении длины отрезка для локализации корня уравнения (3.1). Первоначально проверяются значения заданной функции на концах отрезка. В случае, если
,
один из концов отрезка является искомым корнем уравнения.
Пусть на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, то есть имеет место соотношение
.
Вычисляется значение аргумента в середине отрезка, 
, и вычисляется значение функции 
в этой точке. Далее сравниваются знаки функции в точке 
и, например, в левой точке 
отрезка.
Если имеет место соотношение 
(рис. 3.1), то корень следует искать на отрезке 
. В противном случае - корень разыскивается на отрезке 
. В результате выполненной операции исходный отрезок сократился вдвое.
f(x1)
f(x3) f(x2)
 f(x4)
x0 x3 x2 x1
x4
f(x0)
|
Рис. 3.1. Схема метода половинного деления
Далее, в зависимости от ситуации, отрезок вновь делится пополам,
и так далее.
Для прекращения вычислительной процедуры применяются различные критерии:
- если функция достаточно “пологая”, имеет смысл использовать условие (рис.3.2a)
;
- если функция “круто” меняет свое значение, целесообразно применять условие (рис.3.2b)
.
a b
|
Рис. 3.2. Частные случаи поиска корня нелинейного уравнения
В случае, если заранее неизвестен характер “поведения” функции, имеет смысл использовать одновременно оба условия для прекращения итерационного процесса.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 311 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
