Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

НелинейныЕ уравнения



Пусть известна некоторая нелинейная зависимость вида y = f(x). Требуется определить все те значения аргумента , которые обращают функцию в нуль:

. (3.1)

Для поиска корней нелинейных уравнений, как правило (за небольшим исключением: квадратные, кубические, некоторые трансцендентные уравнения) используются итерационные методы.

Первоначально рассматриваются методы решения одного нелинейного уравнения, а затем - системы нелинейных уравнений.

Методы вычисления корней нелинейного уравнения [16]

Метод половинного деления [17]

Метод основан на одной из теорем математического анализа. Согласно [10], функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нуль внутри интервала.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Процедура метода заключается в последовательном сокращении длины отрезка для локализации корня уравнения (3.1). Первоначально проверяются значения заданной функции на концах отрезка. В случае, если

,

один из концов отрезка является искомым корнем уравнения.

Пусть на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, то есть имеет место соотношение

.

Вычисляется значение аргумента в середине отрезка, , и вычисляется значение функции в этой точке. Далее сравниваются знаки функции в точке и, например, в левой точке отрезка.

Если имеет место соотношение (рис. 3.1), то корень следует искать на отрезке . В противном случае - корень разыскивается на отрезке . В результате выполненной операции исходный отрезок сократился вдвое.

  f(x1)     f(x3) f(x2) f(x4) x0 x3 x2 x1   x4 f(x0)    

Рис. 3.1. Схема метода половинного деления

Далее, в зависимости от ситуации, отрезок вновь делится пополам,

и так далее.

Для прекращения вычислительной процедуры применяются различные критерии:

- если функция достаточно “пологая”, имеет смысл использовать условие (рис.3.2a)

;

- если функция “круто” меняет свое значение, целесообразно применять условие (рис.3.2b)

.

        a b  

Рис. 3.2. Частные случаи поиска корня нелинейного уравнения

В случае, если заранее неизвестен характер “поведения” функции, имеет смысл использовать одновременно оба условия для прекращения итерационного процесса.





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 286 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...