Неявный метод скорейшего спуска

Рассмотрим неявную итерационную схему вида

с симметричной и положительно определенной матрицей B.

Для погрешности эта схема принимает следующую форму:

.

Отсюда, .

Как и ранее, с учетом симметрии матрицы А, определим выражение

Благодаря положительной определенности матрицы А,

,

минимум полученного выражения достигается при значении итерационного параметра

.

Погрешность неявного метода скорейшего спуска оценивается неравенством:

,

где - наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы ; n - номер итерации.

Контрольные вопросы и задания

¨ Какие методы решения системы линейных алгебраических уравнений называются прямыми и итерационными?

¨ Сформулируйте условия существования и единственности решения системы линейных алгебраических уравнений.

¨ Сформулируйте условия разрешимости системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

¨ Покажите, какую структуру будут иметь матрицы, равные произведениям , если А и В являются обратимыми верхними (нижними) треугольными матрицами.

¨ Как можно вычислить определитель матрицы коэффициентов, используя процедуру метода Гаусса?

¨ Обоснуйте возможность построения обратной матрицы с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений.

¨ Выбор "главного" элемента при использовании метода Гаусса возможен с помощью перестановки либо строк, либо столбцов. Обоснуйте, какой вариант предпочтителен.

¨ Сформулируйте условия применимости метода "квадратного корня" для решения системы линейных алгебраических уравнений.

¨ Сравните методы Гаусса и квадратного корня для решения системы линейных алгебраических уравнений. Укажите достоинства и недостатки каждого из этих методов.

¨ Сформулируйте понятие устойчивости системы линейных алгебраических уравнений.

¨ Чему равно и что характеризует число обусловленности системы линейных алгебраических уравнений?

¨ Определите смысл условия теоремы 2.3.

¨ Какую погрешность, относительную или абсолютную , целесообразно оценивать при выполнении вычислений на ЭВМ?

¨ Приведите классификацию итерационных методов решения системы линейных алгебраических уравнений. Какие критерии можно использовать для остановки итерационного процесса?

¨ Укажите геометрический смысл сходимости (расходимости) решения системы алгебраических уравнений при использовании итерационных методов.

¨ Дайте определение понятия скорости сходимости итерационного процесса.

¨ Обоснуйте идею и поясните условия применимости метода Якоби.

¨ Обоснуйте идею и поясните условия применимости метода Зейделя.

¨ Покажите, что из условия B - 0,5tA > 0 теоремы 2.4 следует существование обратной матрицы B^-1.

¨ Докажите справедливость неравенства (Dx, x) > 0, использованного при доказательстве следствия 1 из теоремы 2.4.

¨ Укажите условия применимости метода верхней релаксации.

¨ Сформулируйте условия сходимости стационарного итерационного метода.

¨ Сформулируйте задачу, решение которой приводит к построению полинома Чебышева на отрезках [-1, 1] и [a, b].

¨ В чем преимущество метода решения системы линейных алгебраических уравнений с чебышевским набором параметров?

¨ Опишите порядок выбора итерационных параметров в методе минимальных невязок.

¨ Опишите порядок выбора итерационных параметров в методе минимальных поправок.

¨ Опишите порядок выбора итерационных параметров в явном методе скорейшего спуска.

¨ Опишите порядок выбора итерационных параметров в неявном методе скорейшего спуска.