Рассмотрите решения некоторых уравнений

1. а) sin8x – 2cos4x = 0

Решение

2sin4xcos4x – 2cos4x = 0

2cos4x(2sin4x – 1) = 0

1. 2cos4x = 0 2. 2sin4x – 1= 0

4x = . sin4x = 1

x = 4x =

x =

Ответ: x =

2) sin²2z + sin²3z + sin²4z+sin²5z = 0

Решение

= 0;

cos4z + cos6z + cos8z + cos10z = 0;

2cos5z cosz + 2cos9z cosz = 0;

2cosz (cos5z + cos9z) = 0;

4cosz cos7z cos2z = 0;

cosz = 0 z = + πn, n Z (содержатся среди корней 3 серии)

cos7z = 0 z = + , k Z

cos2z = 0 z = + , l Z

Ответ: z = + , z = + , k, l Z.

3) cos2x – cos8x + cos6x = 1

Решение

cos2x + cos6x = 1 – cos8x

2cos4x cos2x = 2 cos²4x

2cos4x cos2x – 2 cos²4x = 0

2cos4x (cos2x – cos4x) = 0

– 4cos4x sin3x sinx = 0: (– 4)

cos4x = 0 4x = + πn, n Z; x = + , n Z

sin3x = 0 3x = πk, k Z; x = , k Z

sinx = 0 x = πl, l Z; x = πl, l Z

Ответ: x = + , , πl, n,k,l Z.

4) Сколько корней имеет уравнение sin2x + 4cosx – 2sinx – 4 = 0 на промежутке [0; 5π]

Решение

2sinx cosx +4cosx – 2sinx – 4 = 0;

2cosx(sinx +2) – 2(sinx + 2) = 0;

(sinx + 2) (2cosx – 2) = 0;

1. 2cosx – 2 = 0 2. sinx + 2 =0;

cosx = 1 sinx = – 2.Уравнение не имеет корней

x = 2πn, n Z

0 ≤ 2πn ≤ 5π, n Z

0 ≤ n ≤ 2

n = 0, 1, 2

Ответ: 3 корня.

5) Найдите наименьший корень уравнения 2sinx sin = – sin²x ( + π)

Решение

4 sin² cos + 2 sin² = 0

2 sin² (2 cos + 1) = 0

1. 2 sin² = 0 2. 2 cos + 1 = 0

= cos =

x = 2 =

x =

Ответ: наименьший корень x =

6) Найдите сумму корней уравнения sinx cosx – sinx +3cosx – 3 = 0

Решение

sinx(cosx – 1) + 3(cosx – 1) = 0

(cosx – 1)(sinx + 3) = 0

1. cosx – 1 = 0 2. sinx + 3= 0

cosx = 1 sinx = – 3

x = . x =

– 2p < < 3 p –1 < < n = 0, 1

x =0 или x =

Ответ: сумма корней равна .

Выполнить упражнения

1.

2. cos ^{– 1}3 t – 6cos3 t = 4sin3 t

3. ctgx – sin x = 2sin²

4. sin2 x = cos⁴ – sin⁴

5. (1 + cos4 x)sin2 x = cos²2 x

6. 1 – sin3 x = (sin – cos )²

7. cos² x + cos²2 x – cos²3 x – cos²4 x = 0

8. sin x· cos x· cos2 x· cos8 x = sin12 x

9.

10. Найти сумму корней уравнения sin x = на промежутке [π;3π]

11. sinπ x = 0

12. 2sin² x – 5sin x + 3 > 0

13. (sin – cos )² < sin x

14. sin2 x > cos x

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21. sin2 x + sin x – cos x < на промежутке [0;π]

Решите самостоятельно тригонометрические уравнения

Базовый уровень

Сборник задач по математике для поступающих во втузы /под ред. М.И. Сканави. – Минск: Вышейшая школа, 1990. – 528 с.

8.002 8.003 8.005 8.008 8.009 8.011 8.013 8.020

8.021 8.038 8.045 8.135 8.161 8.398 8.405

Повышенный уровень

Сборник задач по математике для поступающих во втузы /под ред. М.И. Сканави. – Минск: Вышейшая школа, 1990. – 528 с.

8.001 8.004 8.016 8.023 8.022 8.034

8.039 8.062 8.120 8.122 8.135 8.394 8.403

Высокий уровень

Сборник задач по математике для поступающих во втузы /под ред. М.И. Сканави. – Минск: Вышейшая школа, 1990. – 528 с.

8.015 8.019 8.024 8.061 8.107

8.135 8.139 8.230 8.395 8.397