Степенные ряды. Степенным рядом по степеням называется ряд вида

Степенным рядом по степеням называется ряд вида

(23)

где постоянные, не зависят от переменной и называются коэффициентами степенного ряда.

Степенной ряд (23) всегда сходится, по крайней мере, в единственной точке . При любых конкретных ряд (23) превращается в числовой ряд

(24)

Степенной ряд (23) сходится в точке абсолютно, если сходится ряд образованный из модулей членов числового ряда (24)

(25)

Найдем область сходимости ряда (23), используя признак Даламбера для положительных числовых рядов. Ряд(25) сходится, если:

Следовательно, по признаку Даламбера ряд (23) заведомо сходится при

(26)

и расходится при

(27)

Величина

(28)

называется радиусом сходимости ряда (23). Ряд заведомо сходится в интервале или , который называется интервалом сходимости.

Признак Даламбера ничего не говорит о сходимости ряда в точках . В этих точках сходимость ряда исследовать отдельно.

Исследовать степенной ряд на сходимость означает найти его интервал сходимости и установить сходимость или расходимость ряда в граничных точках интервала, т.е. .

Степенным рядом по степеням x называется ряд вида

(29)

где постоянные, не зависят от переменной и называются коэффициентами степенного ряда.

Степенной ряд (29) всегда сходится, по крайней мере, в единственной точке . При любых конкретных ряд (29) превращается в числовой ряд

(30)

Степенной ряд (29) сходится в точке абсолютно, если сходится ряд образованный из модулей членов числового ряда (29)

(32)

Найдем область сходимости ряда (29), используя признак Даламбера для положительных числовых рядов. По этому признаку ряд сходится, если

Следовательно, ряд (29) заведомо сходится при

(33)

и расходится при

(34)

Величина

(35)

называется радиусом сходимости ряда (29). Ряд заведомо сходится в интервале или , который называется интервалом сходимости.

Признак Даламбера ничего не говорит о сходимости ряда в точках . В этих точках сходимость ряда исследовать отдельно.

Исследовать степенной ряд на сходимость означает найти его интервал сходимости и установить сходимость или расходимость ряда в граничных точках интервала, т.е. .

Пример 6. Определить интервал сходимости ряда

Решение. Коэффициенты ряда

Ищем радиус сходимости

Следовательно, ряд сходится при <1 и расходится при >1. Исследуем отдельно точки

1) В этой точке ряд равен

Используем предельный признак сравнения: ряд эквивалентен ряду , который расходится, тогда и исходный ряд расходится.

2) В этой точке ряд равен

т.е. ряд знакочередующийся. По теореме Лейбница он сходится, действительно, здесь

1. > т.е. .

2.

Ряд сходится по признаку Лейбница. Тогда, интервал сходимости данного ряда или .