Тема 2. Ряды

Основные определения теории числовых рядов.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность

(14)

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенная знаком плюс т.е. выражение

(15)

числа называются членами ряда и являются элементами заданной последовательности (14).

Сходимость и сумма ряда. Сумма первых членов называется частичной суммой ряда ,т.е.

Частичные суммы ряда образуют новую последовательность - последовательность частичных сумм: . Если существует конечный предел последовательности частичных сумм , то ряд (15) называется сходящимся, а число - суммой ряда. В этом случае пишут .

Если предел последовательности частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд (15) называется расходящимся.

Для сходящихся числовых рядов всегда выполняется одно условие - его общий член стремится к нулю, то есть, если числовой ряд сходится, то его общий член при стремится к нулю:

(16)