Знакочередующиеся ряды. Знакочередующимися рядами называются ряды вида , (22)

Знакочередующимися рядами называются ряды вида

,

(22)

Сходимость таких рядов исследуется по теореме Лейбница:

если в знакочередующемся ряде (21) все члены таковы, что

1. ;
2. ,

то ряд (22) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда .

По знакочередующемуся ряду можно построить соответствующий ему положительный ряд . Если такой положительный ряд сходится, то знакочередующийся ряд называют абсолютно сходящимся, в противном случае ряд называют условно сходящимся.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

По теореме Лейбница ряд сходится, если выполнены два условия:

1) ;

2)

Проверим, выполнены ли эти условия для нашего ряда

< >

Первое условие выполнено.

Второе условие выполнено, следовательно, ряд сходится по Лейбницу.

Проверим, есть ли абсолютная сходимость, т.е. сходится ли ряд.

Используем признак сравнения сходимости рядов с положительными членами и сравним наш ряд с гармоническим рядом (20) , который расходится.

> ряд тоже расходится и, следовательно, исходный ряд абсолютно расходится, а сходится условно.