Тема 1. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Имеем систему линейных дифференциальных уравнений

(1)

где коэффициенты - постоянные величины, - аргумент, и - искомые функции.

Эту систему можно решать двумя методами:

- сведением к одному уравнению второго порядка;

- с помощью характеристического уравнения.

Рассмотрим метод сведения к уравнению второго порядка.

Дифференцируем по первое уравнение системы (1)

(2)

Заменим в равенстве (2) производную ее выражением из системы (1)

(3)

Выразим в первом уравнении системы (1) через и и подставим в уравнение (3):

(4)

Таким образом, получаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно :

(5)

Решая это уравнение, определим :

(5)

Подставляя эту функцию в первое уравнение системы (1), определим .

Пример 1:

Найти общее решение системы:

Дифференцируя по первое уравнение, будем иметь:

Подставляя сюда из второго уравнения, получим:

Из первого уравнения системы находим

.

Тогда, окончательно получаем:

Приводя подобные слагаемые в последнем уравнении, получаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно :

Характеристическое уравнение имеет вид:

,

а его решения , .

Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Отсюда находим:

и

Решение данной системы имеет вид:

.

Рассмотрим метод решения системы (1) с помощью характеристического уравнения.

Будем искать решение системы в виде:

(6)

Здесь k, и постоянные величины.

Необходимо определить постоянные k, и таким образом, чтобы функции (6) удовлетворяли системе уравнений (1):

(7)

Сокращая на , переносим все члены в одну сторону и получаем систему уравнений:

(8)

Это система однородных алгебраических уравнений. Для нахождения нетривиального решения ее определитель должен быть равен нулю:

(9)

Уравнение (9) называется характеристическим уравнением для системы(1), а его корни называются корнями характеристического уравнения. Уравнение (9) дает нам значения k.

Рассмотрим два случая корней характеристического уравнения.

1. Корни характеристического уравнения действительные и различные.

Для каждого из корней и напишем систему (8) и определим коэффициенты и . Таким образом, получаем, что для корня решение системы (1)

,

для корня решение системы (1)

.

Путем непосредственной подстановки в уравнения можно убедится, что система функций

,

(10)

где - произвольные постоянные, также является решением системы дифференциальных уравнений (1).

Пример 2:

Найти общее решение системы:

Составим характеристическое уравнение:

или . Его решения имеют вид , .

Составляем систему (8) для корня , подставив k ₁ в систему и определяем :

.

или

.

Откуда . Возьмем , тогда .

Получили решение системы .

Аналогично, составляем систему (8) для :

и определяем :

.

Тогда и . Получаем второе решение системы: . Общее решение системы, согласно выражению (10), будет иметь вид

.

1. Корни характеристического уравнения комплексные.

Пусть корнями характеристического уравнения (9) являются два комплексно-сопряженных числа:

(11)

Этим корням будут соответствовать решения

(12)

Коэффициенты и определяются из системы уравнений (8). Так как действительные и мнимые части комплексного решения также являются решениями, то соотношения (12) представимы в виде:

,

(13)

где и - вещественные числа, определяемые через и .

Соответствующие комбинации функций (134) войдут в общее решение системы дифференциальных уравнений (1).

Пример 3:

Найти общее решение системы:

Составим характеристическое уравнение:

или .

Его решения имеют вид , .

Составляем систему (8) для корня и определяем :

.

или

.

Находим коэффициенты :

, .

Записываем решение (12):

.

Подставляя в систему (8), находим , . получим вторую систему (12):

.

Перепишем решения, используя формулу Эйлера , .

За системы частных решений можно взять отдельно вещественные и мнимые части:

Общим решением представленной системы будет: