Задания для самоконтроля

		Пусть дана ограниченная на отрезке функция у=f(x) и - произвольное разбиение отрезка на n частей точками . - длина -ого участка разбиения ( и - ранг разбиения .

Возьмём в каждой из частей отрезка по произвольной точке ,…, соответственно.

Тогда - интегральная сумма для функции f на , соответствующая разбиению и набору точек .

По- разному разбивая отрезок на частичных отрезков и по-разному выбирая в них по одной точке , получим бесчисленное множество различных интегральных сумм для функции на отрезке . При этом все они при неограниченном возрастании и при стремлении к нулю рангов разбиений могут иметь один и тот же предел, который и называется определённым интегралом для функции по отрезку .

Определение 1. Если существуетконечный предел последовательности интегральных сумм , не зависящий от способов разбиения отрезка и выбора точек , когда , где - ранг -того разбиения отрезка , то он называется определённым интегралом ( для) функции f по

отрезку и обозначается , т.е. = .

Пусть функция f непрерывна на отрезке и F – какая-либо из её первообразных. Тогда имеет место формула

Например,

Рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла.

I. Вычисление площади плоской фигуры.

Определение 2. Фигура, ограниченная прямыми и графиком непрерывной неотрицательной функции при , называется криволинейной трапецией (рис.2).

ф

рис.2

Для нахождения площадей плоских фигур, не являющихся криволинейными трапециями, применяют следующие формулы:

S

а)

ф

б)

ф

в)

- площадь фигуры, составленной из фигур и , тогда

сг)

ф

д)

		рис. 7

Примеры.

а) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение

1. Построим указанные линии и выделим искомую фигуру.

AmB –фигура, ограниченная указанными линиями.

2. Найдем абсциссы точек пересечения линий:

Значит, .

3.

Ответ:4,5 кв.ед.

б) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

1. Построим указанные линии и выделим искомую фигуру.

АВСD – искомая фигура.

2. Найдём абсциссы точек С и D пересечения указанных линий.

1)

3. , тогда Ответ:

II. Вычисление объёмов тел вращения

Функции и знакопостоянны соответственно на отрезках и .

(1) (2)

Формулы (1) и (2) позволяют находить объёмы тел вращения, получающихся в результате вращения криволинейной трапеции (заштрихованная фигура) вокруг оси Ох (рис.10 ) и оси Оу (рис.10 ) соответственно.

Пример. Найти объёмы тел, образованных при вращении вокруг осей Ox и Oy плоской фигуры, ограниченной линиями

Решение.

1 случай. Ox – ось вращения.

1) Построим линии и выделим фигуру вращения.

		OABC – фигура вращения.

2. ,

3.

2случай. Oy – ось вращения.

		OABC – фигура вращения.

;

Фигура МКАВ ограничена линиями . Значит,

Фигура OMBC ограничена линиями Значит,

(Иначе,

= (куб.ед.) – объём цилиндра, образованного вращением прямоугольника ОМВС вокруг оси ОУ).

Фигура ОКА ограничена линиями Значит,

Итак,

Ответ: 1) 22,4 ; 2)

Помимо геометрических приложений определённый интеграл имеет также и физические приложения. Рассмотрим некоторые из них.

III. Вычисление давления.

Пример. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции с основаниями и соответственно и высотой . Плотность воды кг/ , ускорение свободного падения у поверхности Земли положить равным . (Давление на глубине х равно .)

N

C

B

Решение.

x

y

K

Пусть ABCD – равнобочная трапеция.

			Разобьём её на элементарные части (полоски), напоминающие по своей форме прямоугольники. Пусть заштрихованная полоска расположена на глубине в горизонтальной плоскости и является прямоугольником со сторонами и .

Тогда элемент силы, с которой вода давит на эту полоску, будет , где - площадь выделенной полоски.

Значит, - сила, с которой вода давит на плотину.

Выразим через .

Построим отрезок СР||АВ, тогда DCP подобен КСN, значит, .

, т.е. имеем

,

Итак,

Для указанных данных имеем

Р=

Ответ:

IV. Вычисление работы.

Пример. Определить работу А, необходимую для запуска тела массой т с поверхности Земли на высоту км. Радиус Земли км, ускорение свободного падения g у поверхности Земли положить равным .

Решение.

Отсюда, в общем случае, .

Если - элемент работы по перемещению тела на величину , то

Для указанных данных получаем

Ответ: