Необходимые теоретические сведения. Пусть Х – конечный или бесконечный промежуток из R

Пусть Х – конечный или бесконечный промежуток из R. Функции и определены на Х.

Определение 1. Функция называется первообразной для функции на промежутке , если для каждого выполняется равенство

Например, если , то - одна из первообразных для функции на множестве , т.к. для всех .

Для того чтобы функция имела первообразную на промежутке необходимо, чтобы она была непрерывна на этом промежутке.

Замечание. Если - какая-либо первообразная для на промежутке Х, то все возможные первообразные для функции на промежутке Х описываются выражением , где - произвольная постоянная.

Определение 2. Множество всех первообразных для функции на промежутке называется неопределённым интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, -подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.

Таким образом, = , - какая-либо первообразная функции на Х, - произвольная постоянная.

Для выполнения предложенного задания необходимо знать:

1) таблицу неопределённых интегралов;

2) свойства неопределённых интегралов;

3) основные методы интегрирования.

Таблица неопределённых интегралов

( - произвольная постоянная)

Примеры. Вычислить интеграл.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

К числу наиболее часто используемых свойств неопределённого интеграла относят:

1. = , где , т.е. постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла.

2. , т.е. интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

Примеры. Вычислить интеграл.

1) ;

2)

.

Основными методами интегрирования являются метод подстановки (замены переменной) и метод интегрирования по частям.

Метод подстановки (замены переменной)

Данный метод описывается формулой , где непрерывно дифференцируемая функция на рассматриваемом промежутке (т.е. её производная также непрерывна на этом промежутке).

Этот метод используется тогда, когда в подынтегральном выражении имеются функция и её производная или часть (части) производной.

Пример.

= .

Замечание. Выражение называется дифференциалом функции , он равен , т.е. . Поэтому .

Данный интеграл можно вычислить иначе, если воспользоваться следующей теоремой.

Теорема. Если , то , где - некоторые числа, причём .

Таким образом, если подынтегральная функция является сложной функ-

цией, зависящей от линейного аргумента, то интеграл от неё находится указан-

ным образом.

Примеры.

1) ;

2) ;

3) .

Рассмотрим другие примеры вычисления неопределённого интеграла с использованием метода подстановки (замены переменной).

а) = ;

б) = =

;

в) =

= ;

г) = = =

;

t= cosx, dt =d(cosx)= =-sinxdx, dt=-sinxdx, sinxdx=-dt.

д) = ;

е) =

.

Метод интегрирования по частям

Данный метод основан на следующей теореме.

Теорема. Если функции и дифференцируемы на некотором

промежутке и на этом промежутке существует , то на

нём существует и причём = .

Выделенная формула является базовой для этого метода. Обычно за берётся такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен, или может быть найден.

Типы интегралов, берущихся по частям:

I. , - многочлен n-ой степени.

II. , - некоторая рациональная или

иррациональная функция.

Мы указали, что в предложенных подынтегральных выражениях брать за , что – за . Если нарушить эти указания, то интегралы могут в процессе вычисления значительно усложниться.

Для простоты вычислений будем полагать С=0 при вычислении .

Примеры.

1) = -

- ;

2) = =

= ;

3) = =

=

=

= ,

, где

;

4) =