Необходимые теоретические сведения. Пусть даны два множества и

Пусть даны два множества и . , т.е. - подмножество n-мерного пространства , элементами Х являются упорядоченные наборы из чисел (), .

Определение. Соответствие, при котором каждому набору () отвечает единственное значение переменной y называется функцией переменных , где - независимые переменные (аргументы), y – зависимая переменная, - закон соответствия между множествами Х и У, причём D(f)=X – область определения функции , У- множество значений функции (переменной у).

Частный случай функции многих переменных – функция двух переменных . Иногда её обозначают: , т.е. - независимые переменные (аргументы), - зависимая переменная, - закон (правило), по которому каждой паре чисел ставится в соответствие единственное число .

Функцию двух переменных часто называют функцией точки, т.к. каждой упорядоченной паре чисел фиксированной прямоугольной системы координат соответствует единственная точка плоскости, и наоборот, каждой точке плоскости соответствует упорядоченная пара чисел. Поэтому пишут: , где . В связи с этим областью определения функции двух переменных является некоторое множество точек плоскости.

у

Например, .

о

х

рис.1

- вся координатная плоскость за исключением точки (0;0).

Рассмотрим произвольную функцию , определенную в некоторой окрестности точки М , и дадим аргументам некоторые приращения , так чтобы точка также принадлежала этой окрестности.

Определение 1. Разности вида

называют соответственно

полным приращением функции в точке ,

частным приращением функции в точке по переменной ,

частным приращением функции в точке по переменной .

Определение 2. Частной производной функции в точке по переменной (обозначают или ) называется предел отношения частногоприращенияфункции в точке по переменной к приращению , когда последнее стремится к нулю, т.е. = .

Определение 3. Частной производной функции в точке по переменной (обозначают или ) называется предел отношения частногоприращенияфункции в точке по переменной к приращению , когда последнее стремится к нулю, т.е. = .

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования. При этом для нахождения нужно найти обычную производную функции , рассматривая переменную как число, а для нахождения нужно найти обычную производную функции , рассматривая переменную как число.

Определение 4. Частными производными второго порядка от функции называются частные производныеот её частныхпроизводных первого порядка.

Они обозначаются: . Причём, частные производные высших порядков, отличающиеся друг от друга лишь порядком дифференцирования равны, если они непрерывны, т.е. , если и непрерывны. В связи с этим, достаточно найти какую-нибудь одну из них.

Примеры. Вычислить частные производные I и II порядков для функции .

1) ,

, ,

, ,

2) ,

,

,

,

;

3) ,

,

,

4) ,

,

,

5)

,

,

;