![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть даны два множества и
.
, т.е.
- подмножество n-мерного пространства
, элементами Х являются упорядоченные наборы из
чисел (
),
.
Определение. Соответствие, при котором каждому набору ()
отвечает единственное значение переменной y называется функцией
переменных
, где
- независимые переменные (аргументы), y – зависимая переменная,
- закон соответствия между множествами Х и У, причём D(f)=X – область определения функции
, У- множество значений функции
(переменной у).
Частный случай функции многих переменных – функция двух переменных . Иногда её обозначают:
, т.е.
- независимые переменные (аргументы),
- зависимая переменная,
- закон (правило), по которому каждой паре чисел
ставится в соответствие единственное число
.
Функцию двух переменных часто называют функцией точки, т.к. каждой упорядоченной паре чисел фиксированной прямоугольной системы координат соответствует единственная точка плоскости, и наоборот, каждой точке плоскости соответствует упорядоченная пара чисел. Поэтому пишут:
, где
. В связи с этим областью определения функции двух переменных является некоторое множество
точек плоскости.
|
|
|
|
|
- вся координатная плоскость за исключением точки (0;0).
Рассмотрим произвольную функцию , определенную в некоторой окрестности точки М
, и дадим аргументам
некоторые приращения
, так чтобы точка
также принадлежала этой окрестности.
Определение 1. Разности вида
называют соответственно
полным приращением функции в точке
,
частным приращением функции в точке
по переменной
,
частным приращением функции в точке
по переменной
.
Определение 2. Частной производной функции в точке
по переменной
(обозначают
или
) называется предел отношения частногоприращенияфункции
в точке
по переменной
к приращению
, когда последнее стремится к нулю, т.е.
=
.
Определение 3. Частной производной функции в точке
по переменной
(обозначают
или
) называется предел отношения частногоприращенияфункции
в точке
по переменной
к приращению
, когда последнее стремится к нулю, т.е.
=
.
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования. При этом для нахождения нужно найти обычную производную функции
, рассматривая переменную
как число, а для нахождения
нужно найти обычную производную функции
, рассматривая переменную
как число.
Определение 4. Частными производными второго порядка от функции называются частные производныеот её частныхпроизводных первого порядка.
Они обозначаются: . Причём, частные производные высших порядков, отличающиеся друг от друга лишь порядком дифференцирования равны, если они непрерывны, т.е.
, если
и
непрерывны. В связи с этим, достаточно найти какую-нибудь одну из них.
Примеры. Вычислить частные производные I и II порядков для функции .
1) ,
,
,
,
,
2) ,
,
,
,
;
3) ,
,
,
4) ,
,
,
5)
,
,
;
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 265 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!