Необходимые теоретические сведения. При исследовании функций можно придерживаться следующей схемы

При исследовании функций можно придерживаться следующей схемы.

Схема исследования функции у=f(x).

1. Найти область определения данной функции - D(f).

Определение: D(f) – множество таких значений х, при которых функция у=f(x) имеет смысл.

2. Исследовать функцию на чётность.

Комментарий: Для того чтобы выяснить, является ли данная функция f чётной или нечётной, необходимо убедиться, что выполняются следующие два условия:

1. D(f) симметрична относительно нуля;

2. для любого х D(f) выполняется одно из условий: либо f(-x)=f(x), тогда f – чётная,

либо f(-x)=-f(x), тогда f – нечётная.

Если условие 1 не выполняется, то условие 2 проверять не нужно, т.к., очевидно, f не является ни чётной, ни нечётной, т.е. f – функция общего вида.

Если условие 1 выполняется, то проверяется условие 2 и делается окончательный вывод.

3. Исследовать функцию на периодичность.

Определение: Функция f называется периодической на , если существует число Т такое, что для всех выполняется условие

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

Комментарий: Точки пересечения с Ох находятся из условия у=0.

Точки пересечения с Оу находятся из условия х=0.

5. Найти промежутки знакопостоянства функции.

Комментарий: Промежутки, в которых функция положительна (отрицательна), находятся из условия у>0 (y<0).

6. Найти асимптоты графика функции.

Определение 1. Прямая = - вертикальная асимптота, если выполняется хотя бы одно из условий , или (запись означает « стремится к справа», соответственно - « стремится к слева»).

Для нахождения вертикальных асимптот нужно определить точки разрыва и граничные точки области определения функции f, а затем найти односторонние пределы в каждой из этих точек.

Определение 2. Прямая - горизонтальная асимптота при , если .

Определение 3. Прямая ( - наклонная асимптота при

, если

.

7. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

Комментарий.

Возрастание и убывание дифференцируемой функции характеризуется знаком её производной : если в некотором интервале , то строго возрастает, а если , то строго убывает в этом интервале.

Заметим, если функция непрерывна на некотором интервале и имеет всюду в нём (), кроме, может быть, конечного числа точек, где или не существует, то строго возрастает (строго убывает) на этом интервале.

Для отыскания точек экстремума (точек максимума и точек минимума) необходимо:

1. Найти производную функции (т.е. ).

2. Найти критические точки функции, т.е. внутренние точки , в которых или не существует, а сама функция непрерывна.

3. Установить знак производной в сколь угодно малой окрестности критической точки.

4. Если производная при переходе через критическую точку меняет знак «+» на «-», то эта точка является точкой (строгого) максимума; если же происходит смена знака «-» на «+», то эта точка является точкой (строгого) минимума; если же производная при переходе через критическую точку не меняет знака, то эта точка не является точкой экстремума.

Экстремумы функции – это значения функции в точках экстремума, т.е. это максимумы и минимумы функции.

8. Исследовать направление выпуклости функции и указать точки перегиба.

Комментарий. Для исследования направления выпуклости дифференцируемой функции и нахождения точек перегиба необходимо воспользоваться производной 2-го порядка функции f, которая является производной от производной 1-го порядка функции f, т.е. .

Направление выпуклости кривой определяется знаком : если в некотором интервале , то кривая строго выпукла вниз, а если , то кривая строго выпукла вверх в этом интервале.

Точки перегиба функции - это точки, в которых происходит смена одного типа

выпуклости на другой, а значит, при переходе через них меняется поведение производной

. Поэтому для их поиска нужно:

1. Найти .

2. Найти внутренние точки D(f), в которых или не существует, а функция непрерывна.

3. Определить знак слева и справа от каждой из этих точек.

4. Если по разные стороны от найденной точки имеет разные знаки, то эта точка и

является точкой перегиба.

9. Составить таблицу дополнительных значений функции для некоторых значений аргумента.

10. Используя полученные результаты, построить график.

Примеры.

1)

Исследование.

1.

т.е. ;

2. симметрична относительно точки х=0.

при всех , значит, данная функция является нечетной, и её график симметричен относительно точки (0;0). Поэтому для дальнейшего исследования ограничимся промежутками Построим график функции на указанных промежутках и выполним центральную симметрию этого графика относительно точки (0;0).

3. Функция не является периодической на , т.к. нельзя подобрать такое число Т 0, чтобы для всех выполнялись равенства .

Действительно, если х=0, то , но , т.е. в точке х=0 уже не выполняется условие периодичности.

4. Точки пересечения с осями координат.

Если х=0, то у=0, значит, (0;0) – точка пересечения графика функции с осью ОУ, а также с осью ОХ.

Если у=0, то =0. Отсюда х=0, и (0;0) – единственная точка пересечения графика функции с осями координат.

5. Промежутки знакопостоянства функции.

у›0: ›0; данное неравенство можно решить, используя метод интервалов. Для этого найдём нули функции и определим знаки функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область задания функции нулями функции.

Если =0, то х=0.

Найдём знаки функции на промежутках

Таким образом, функция положительна (у›0) при и отрицательна (у‹0) при .

6. Асимптоты.

Функция непрерывна на , т.к. является элементарной (1, с.139-142; 3, с.161-166). Исследуем граничные точки области определения с целью определения вертикальных асимптот у графика данной функции. С понятием граничной точки множества можно ознакомиться в учебнике (2, с.13-14).

В силу нечётности функции рассмотрим граничную точку .

(см.п.5), значит, х = - вертикальная асимптота, при этом

.

Выясним, имеет ли график функции невертикальные асимптоты.

. Поскольку , то

горизонтальных асимптот нет (уравнение горизонтальной асимптоты можно записать в виде , где ).

=0,

т.е. y= -x - наклонная асимптота.

С методами вычисления пределов разных видов можно ознакомиться в пособиях (1, с.133-136; 3, с.166-174; 4, с.142-147).

7. Промежутки монотонности и экстремумы функции.

;

Значит, -3, 0, 3 – критические точки функции. В силу нечётности функции найдём знаки на интервалах

Итак, функция строго возрастает в интервалах и строго убывает на интервале

х=3 – точка максимума функции,

8. Направление выпуклости и точки перегиба.

Найдём производную второго порядка от функции у:

Значит, внутри промежутков точек перегиба нет. Найдём знаки на интервалах .

Итак, функция строго выпукла вниз на интервале и строго выпукла вверх на интервале . В силу нечётности функция строго выпукла вверх на интервале , поэтому х=0 – точка перегиба функции, т.к. в ней происходит смена одного типа выпуклости на другой.

9. Дополнительные точки.

х
у	1/2

10. Итак, график функции имеет вид

2)

Исследование.

1.

Значит, .

2. несимметрична относительно точки х=0, поэтому данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Функция не является периодической на , т.к. нельзя подобрать такое число Т 0, чтобы для всех выполнялись равенства .

4. Точки пересечения с осями координат.

Если х=0, то у=-6, значит, (0;-6) – точка пересечения графика с осью ОУ.

Если у=0, то =0;

Отсюда (-1;0),(2;0)– точки пересечения графика функции с осью ОХ.

5. Промежутки знакопостоянства функции.

у›0: >0,

x=-1 и x=2 – нули функции (см. п.4)

Таким образом, функция положительна (у›0) при и отрицательна (у‹0) при .

6. Асимптоты.

Функция непрерывна на , т.к. является элементарной. Исследуем граничные точки области определения с целью определения вертикальных асимптот у графика данной функции.

, т.е. вертикальных асимптот нет.

, т.е. горизонтальных асимптот нет.

=+ , т.е. наклонных асимптот нет.

7. Промежутки монотонности и экстремумы функции.

.

т.е.

не существует при , при этом -1 – граничная точка , поэтому не является критической.

Значит, – критическая (стационарная) точка функции. Отметим её на числовой прямой, учитывая .

Функция строго возрастает в интервале и строго убывает в интервале . - точка минимума функции, - экстремум функции (минимум).

8. Направление выпуклости и точки перегиба.

.

Поскольку при всех х, то при . Значит, функция строго выпукла вниз на интервале (-1;+ ). Точек перегиба нет.

9. Итак, график функции имеет вид

рис. 2

у