Правила дифференцирования. Замечание. В правилах 1-3 полагаем, что функции , дифференцируемы

Замечание. В правилах 1-3 полагаем, что функции , дифференцируемы

на некотором множестве Х (т.е. имеют в каждой точке множества Х конечные

производные).

1. Производная суммы (разности) конечного числа дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

.

Примеры.

;

.

2. Производная произведения 2-ух дифференцируемых функций находится по формуле

.

Примеры.

3. Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле

Примеры.

Следствия.

1) , т.е. константу можно выносить за знак производной.

Например,

а) б) .

2) .

Например,

а) ; б)

4. Логарифмическое дифференцирование.

Для дифференцирования показательно-степенных функций , где , а также сложных произведений и частных используют следующую формулу:

(3, с.190-191).

Примеры.

а) тогда

б) тогда

В примере б) мы применили формулу к вычислению производной функции формально, полагая, что данная функция удовлетворяет всем ограничениям, необходимым для выполнения описанных преобразований.

5. Теоремы о нахождении производной сложной и обратной функций

Th 1 (производная сложной функции).

Пусть - дифференцируемые функции от своих аргументов и

для любого . Тогда сложная функция дифференцируема по аргументу х, причём

.

Примеры.

а)

б)

в)

Th 2 (производная обратной функции).

Если функция дифференцируема и строго монотонна на множестве Х, причём её производная на Х, то обратная к ней функция также дифференцируема на соответствующем множестве У, причём .

Примеры. Найти производные обратных функций.

а) тогда

б) тогда

в) , тогда = .

.

Отметим, что в рассмотренных примерах производные выражены через

переменную , хотя функции, обратные предложенным, а следовательно, и их производные, должны выражать зависимость переменной от переменной . Нетрудно догадаться, что получить выражение производной через переменную можно, если выразить в заданных функциях через и подставить это выражение в полученный результат . Однако в некоторых случаях это сделать весьма затруднительно, например, в примере б).

Подводя итог, заметим, что прежде чем вычислить производную некоторой функции, необходимо выяснить, содержится ли эта функция в таблице производных. Если - да, то воспользоваться таблицей, а если – нет, то выяснить правила дифференцирования, которые могут быть использованы при вычислении её производной. Руководствуясь этими правилами и таблицей, вычислить производную.