Необходимые теоретические сведения. Пусть , т.е. - некоторое подмножество точек числовой прямой

Пусть , т.е. - некоторое подмножество точек числовой прямой. Например, - множество точек отрезка и интервала .

		рис.1

Пусть, кроме этого, ( - произвольная точка множества ) и - произвольное число.

x

	рис.2

Определение 1. Интервал называется - окрестностью (эпсилон-окрестностью) точки .

Обозначение - окрестности точки - , т.е. = .

Таким образом, - это интервал длины с центром в точке (рис.2).

Замечание 1а. Если , то пишут , т. к. это неравенство равносильно неравенству , а значит, , т. е. .

Замечание 1б. Любую - окрестность точки для краткости можно обозначить .

Определение . Объединение двух интервалов называется проколотой окрестностью точки и обозначается (т.е. ).

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки ,

хотя в самой точке она, может быть, и не определена, т.е. , где - область определения функции (рис.3).

x

x

		рис.3

Определение 2. Число называется пределом функции в точке (или при стремящемся к ), если для любого сколь угодно малого числа найдётся такое число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Коротко этот факт пишут так: .

Геометрический смысл определения 2

	рис.4

Неравенство означает, что - окрестности точки . Поскольку , тогда окрестность точки будет являться проколотой, т.к. в ней не будет самой точки .

Неравенство означает, что , т.е. значение функции , соответствующее аргументу х, принадлежит - окрестности точки (.

Таким образом, геометрически означает, что какой бы малой ни была - окрестность точки , всегда найдётся проколотая окрестность точки , такая, что для всех точек (например, на рис.4 для х=с), значения функции лежат в - окрестности точки (), другими словами стремится к (пишут ), если стремится к (пишут ).

Замечание 2. Определение 2 не требует существования функции в точке . Поэтому наличие или отсутствие определяется поведением функции в окрестности точки , но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке .

Определение 3. Число называется пределом функции при стремлении к бесконечности (пишут ), если для любого сколь угодно малого числа найдётся такое число (зависящее от ), что для всех , таких, что верно неравенство .

у

Геометрический смысл определения 3

		рис.5

Таким образом, геометрически означает, что как только значения аргумента начинают расти по модулю ( или ), так сразу график функции попадает в полосу шириной , ограниченную прямыми , .

Определение 4. Функция называется бесконечно малой при (, если ().

Заметим, что означает, что , если .

Определение 5. Функция называется бесконечно большой при

(, если ().

Например,

			Функция - бесконечно малая при , т.к. . В то же время, функция - бесконечно большая при , т.к. (рис.6).
		рис.6

Теорема (о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).

Если функция - бесконечно большая при (, то функция - бесконечно малая при (. И, наоборот, если функция - бесконечно малая при ( и на , то функция - бесконечно большая при (.

К примеру, - бесконечно большая функция при и бесконечно малая при .

Изучая поведение функции при , часто бывает целесообразно заменить её эквивалентной ей функцией , поскольку в определённом смысле проще и хорошо приближает (аппроксимирует) функцию вблизи точки . Поэтому введём понятие эквивалентных бесконечно малых функций.

Определение 6. Если и - бесконечно малые функции при ( и (), то функции и называются эквивалентными бесконечно малыми. Пишут при .

Например, можно доказать, что , т.е. при .

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин при ( - любая бесконечно малая функция):

Примеры.

1) при , т.к. при ;

2) при (), а так как при , тогда окончательно получаем при ;

3) при , т.к. если , то и .

Применение эквивалентных бесконечно малых является эффективным средством для вычисления некоторых пределов. Оно основано на следующем принципе.

Принцип эквивалентности бесконечно малых: Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.

Примеры.

а) Найти .

Решение.

При подстановке в функцию предельного значения аргумента

, получаем неопределённость , т.к. и при . Тогда воспользуемся таблицей и принципом эквивалентности бесконечно малых.

, при , т.к. - бесконечно малые функции при . Значит,

б) Найти .

Решение.

1- при , ln(1-2x)= ln(1+(-2x)) -2x при . Значит,

в) Найти .

Решение.

при ,значит, при . Тогда

.

г) Найти

Решение.

Если , то . Отсюда , значит, (произведение бесконечно малой функции на постоянную является бесконечно малой функцией). Поэтому . Таким образом, в этом пределе имеем неопределённость , которую можно свести к виду , а затем воспользоваться таблицей и принципом эквивалентности бесконечно малых (.

Итак, .

Подробнее со свойствами бесконечно малых и бесконечно больших функций, а также основными теоремами о пределах можно ознакомиться в следующих учебниках (1, с.126-136; 3, с.147-155; 7, с.78-87).