Необходимые теоретические сведения. Пусть функция непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области D плоскости ХОУ, которая разбивается произвольным

Пусть функция непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области D плоскости ХОУ, которая разбивается произвольным

		способом сетью прямых, параллельных осям координат на n частичных неперекрывающихся областей с площадями и диаметрами (диаметром области называется наибольшее из расстояний между любыми двумя точками границы этой области).

Кроме этого, пусть - точки, взятые произвольно по одной в каждой из указанных областей соответственно. Тогда сумма вида

называется интегральной суммой функции по области D.

Если при неограниченном увеличении n и стремлении к нулю наибольшего из диаметров частичных областей () интегральная сумма имеет определённый конечный предел, не зависящий от способа разбиения D на частичные области и от выбора точек в каждой из них, то он называется двойным интегралом от функции и обозначается

, т.е. . Поскольку - площадь частичной области (находится как площадь прямоугольника), то

.

Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле

.

Если область D задана неравенствами , т.е. D – прямоугольник (рис. 2), то

y

x

D

Если область D задана неравенствами (рис. 3), то

Если область D задана неравенствами (рис. 4), то

Примеры. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

а) .

Решение.

1. Построим фигуру, ограниченную указанными линиями.

2.

Ответ:

б) .

Решение.

1. Построим фигуру, ограниченную указанными линиями.

- прямая

х
у

у	-4	-2
х			-1

		АВС – искомая фигура.

2. Найдём точки пересечения указанных линий.

Значит,

3.

Ответ:

в)

Решение.

1. Построим фигуру, ограниченную указанными линиями.

1.способ. 2 способ. Область NEP можно рассматривать как заданную неравенствами Поэтому

Ответ: