Необходимые теоретические сведения

Возьмём на прямой точку , тогда длина отрезка равна и - приращение точки при переходе её в точку вдоль направления . На рис.2 направление, задава- емое вектором на прямой , указано стрелкой и видно, что , т.е. .

z

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и – направление, задаваемое единичным вектором , где - угол, образованный вектором с осью ОХ.

Тогда функция получит в точке следующее приращение в направлении :

=

Определение. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции в точке по направлению и обозначается или , т.е.

=

характеризует скорость изменения функции в точке по направлению .

На практике используют следующую формулу для вычисления производной дифференцируемой функции по направлению:

Примеры.

1) Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси ОХ.

Решение.

Найдём частные производные первого порядка функции и их значения в точке М.

, тогда .

Итак,

Ответ:

2) Найти производную функции в точке (2;1) в направлении, идущем от начала координат к этой точке.

y

Пусть М(2;1), тогда и . ,значит, . Отсюда , .

Решение.

. Найдем частные производные функции.

Итак,

Ответ:

Рассмотрим вектор с координатами .

Определение. Градиентом функции в точке называется вектор .

Обозначение: .

показывает направление, в котором скорость роста функции в точке М максимальна.

Если направление совпадает с направлением градиента, то производ-

ная функции в указанном направлении принимает наибольшее значение,

которое находится по формуле

.

Примеры.

1) Найти градиент функции в точке М(3;4).

Решение.

Значит, .

Ответ: .

2) Найти производную функции в точке М(-3;1) в направлении градиента функции z.

Решение.

Поскольку направление совпадает с направлением градиента, то производная функции в указанном направлении принимает наибольшее значение, которое находится по формуле .

Найдём .

Значит, , тогда

Ответ: