![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 12.9.
Однородной функцией m измерения называется функция , для которой верно равенство
.
Определение 12.10.
Дифференциальные уравнения называются однородными, если
есть однородная функция нулевого измерения, то есть
.
Однородное уравнение всегда можно представить в виде .
Любой из подстановок или
однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Например, вводя новую искомую функцию можно свести уравнение
к уравнению
, в котором переменные разделяются.
Если u≡u0, есть корень уравнеия = 0, то решением однородного уравнения будет u≡u0, или y=u0x.
Пример 12.6.
Решим дифференциальное уравнение .
Имеем однородное уравнение (заменяя в уравнении x и y на tx, ty, приходим к однородному уравнению).
Данное уравнение приводится к виду
.
Положим , тогда
, откуда
.
Разделим переменные: . Интегрированием функций находим
или
. Подставляя
, после преобразования получим общее решение
.
При разделении переменных обе части уравнения делили на произведение , поэтому могли потерять решения, которые обращают в нуль это произведение.
Пример 12.7.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение и выделим интегральные кривые, проходящую через точки: а) (2;2); б) (1;-1).
Положим , тогда
, так что
. Разделим переменные:
, (u + 1 ≠ 0).
Интегрируя, получим или
.
Заменив , получим общий интеграл уравнения в виде
(семейство окружностей
).
При u+1 = 0 имеем (особое решение).
Решим поставленные задачи Коши:
а) полагая в x =2, y =2, находим С =2, так что искомое решение:
.
б) ни одна из окружностей не проходит через точку (1;-1), зато полупрямая
проходящая через эту точку и дает искомое решение.
Дифференциальные уравнения вида в случае
приводится к однородным уравнениям с помощью замены переменных x=u+m, y=v+n, где m и n находятся из системы уравнений a1m+b1n+c1= 0, a2m+b2n+c2 =0.
Если в данном уравнении и, следовательно, a2x+b2y=λ (a1x+b1y), то оно примет вид
.
Подстановкой это уравнение преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 12.8.
Решим уравнение .
Система m+n-2=0; m-n+4=0 имеет единственное решение m= -1, n= 3. Замена x=u -1, y=v +3 приводит данное уравнение к виду , которое является однородным уравнением.
Полагая , получим
, откуда
.
Разделим переменные: . Интегрируя, находим
или
.
Возвращаясь к старым переменным x и y, получим или
.
Пример 12.9.
Решим дифференциальное уравнение .
Система m+n+ 1 = 0; 2 m- 2 n- 1 = 0 несовместна. Для интегрирования уравнения применяем подстановку , после чего уравнение принимает вид
.
Разделяя переменные, получим , откуда
. Возвращаясь к переменным x, y получим общий интеграл данного уравнения
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 543 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!