Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним

Определение 12.9.

Однородной функцией m измерения называется функция , для которой верно равенство .

Определение 12.10.

Дифференциальные уравнения называются однородными, если есть однородная функция нулевого измерения, то есть .

Однородное уравнение всегда можно представить в виде .

Любой из подстановок или однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Например, вводя новую искомую функцию можно свести уравнение к уравнению , в котором переменные разделяются.

Если u≡u₀, есть корень уравнеия = 0, то решением однородного уравнения будет u≡u₀, или y=u₀x.

Пример 12.6.

Решим дифференциальное уравнение .

Имеем однородное уравнение (заменяя в уравнении x и y на tx, ty, приходим к однородному уравнению).

Данное уравнение приводится к виду .

Положим , тогда , откуда .

Разделим переменные: . Интегрированием функций находим или . Подставляя , после преобразования получим общее решение .

При разделении переменных обе части уравнения делили на произведение , поэтому могли потерять решения, которые обращают в нуль это произведение.

Пример 12.7.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение и выделим интегральные кривые, проходящую через точки: а) (2;2); б) (1;-1).

Положим , тогда , так что

. Разделим переменные: , (u + 1 ≠ 0).

Интегрируя, получим или .

Заменив , получим общий интеграл уравнения в виде (семейство окружностей ).

При u+1 = 0 имеем (особое решение).

Решим поставленные задачи Коши:

а) полагая в x =2, y =2, находим С =2, так что искомое решение: .

б) ни одна из окружностей не проходит через точку (1;-1), зато полупрямая проходящая через эту точку и дает искомое решение.

Дифференциальные уравнения вида в случае приводится к однородным уравнениям с помощью замены переменных x=u+m, y=v+n, где m и n находятся из системы уравнений a₁m+b₁n+c₁= 0, a₂m+b₂n+c₂ =0.

Если в данном уравнении и, следовательно, a₂x+b₂y=λ (a₁x+b₁y), то оно примет вид .

Подстановкой это уравнение преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 12.8.

Решим уравнение .

Система m+n-2=0; m-n+4=0 имеет единственное решение m= -1, n= 3. Замена x=u -1, y=v +3 приводит данное уравнение к виду , которое является однородным уравнением.

Полагая , получим , откуда .

Разделим переменные: . Интегрируя, находим или .

Возвращаясь к старым переменным x и y, получим или .

Пример 12.9.

Решим дифференциальное уравнение .

Система m+n+ 1 = 0; 2 m- 2 n- 1 = 0 несовместна. Для интегрирования уравнения применяем подстановку , после чего уравнение принимает вид

.

Разделяя переменные, получим , откуда . Возвращаясь к переменным x, y получим общий интеграл данного уравнения

.