Дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия и определения. Задача Коши

Определение 12.15.

Дифференциальным уравнением второго продка называется уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию у и ее производные у ', y ",то есть F (x,y,y ' ,y ") = 0 (в общем виде) или у " = f (x,y,y ') (в нормальной форме).

Определение 12.16.

Задачей Коши для дифференциального уравнения второго порядка называется задача нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям .

Определение 12.17.

Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых допустимых значениях С₁, С₂ является решением этого уравнения. При этом для любых начальных условий существуют параметры С₁, С₂, определяемые из системы уравнений .

Теорема 12.4.(о существовании и единственности решения задачи Коши)

Если дифференциальное уравнение у " = f (x,y,y ') таково, что функция f (x,y,y ') в некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные , то для любой точки существует такой интервал , на котором существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

.

Определение 12.18.

Решение уравнения у " = f (x,y,y ') называется частным решением, если в

каждой точке его сохраняется единственность решение задачи Коши. Оно получается из общего решения при конкретных значениях параметров С₁ и С₂.

Определение 12.19.

Решение уравнения второго порядка называется особым, если в каждой точке его нарушается единственность решения задачи Коши.

Замечание 1.2.3.

Рассмотрим уравнение у " = f (x,y,y '). Задача Коши состоит в нахождении решения этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям при .

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, которая прходит через заданную точку M₀(x₀ ,y₀) и имеет в этой точке заданную касательную, образующую с положительным направлением оси Ох такой угол , что .

Механический смысл задачи Коши заключается в следующем. Запишем уравнение движения материяльной точки в проекции на ось Ох: . Здесь t – время, - соответственно координата, проекции скорости и ускорения на ось Ох в момент t; - проекция силы, действующей на точку, на ось Ох. Решение этого уравнения называется движением точки, определяемое этим уравнением. Решение задачи Коши заключается в определении движения, удовлетворяющего начальным условиям: , при , где числа , ,и есть соответственно начальный момент времени, начальная координата и начальная проекция скорости.

Пример 12.18.

Покажем, что есть общее решение дифференциального уравнения .

Легко показать, что удовлетворяет данному уравнению при любых , поскольку , откуда .

Пусть заданны произвлльные начальные условия . Покажем, что постоянные можно подобрать так, что эти начальные условия будут удовлетворены.

Составим систему , из которой однозначно определяются

, .

Таким образом, решение удовлетворяет поставленным начальным условиям. В силу определения 12.17 у= С₁х + С₂ есть общее решение уравнения

Пример 12.19.

Найдем область существования и единственности задачи Коши решения дифференциального уравнения .

Функция f (x,y,y ') и ее частные производные , непрерывны при .

Таким образом, данное уравнение имеет единственное решение при и всех у, для которых .