![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Основные понятия и определения. Задача Коши
Определение 12.15.
Дифференциальным уравнением второго продка называется уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию у и ее производные у ', y ",то есть F (x,y,y ' ,y ") = 0 (в общем виде) или у " = f (x,y,y ') (в нормальной форме).
Определение 12.16.
Задачей Коши для дифференциального уравнения второго порядка называется задача нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям
.
Определение 12.17.
Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых допустимых значениях С1, С2 является решением этого уравнения. При этом для любых начальных условий существуют параметры С1, С2, определяемые из системы уравнений
.
Теорема 12.4.(о существовании и единственности решения задачи Коши)
Если дифференциальное уравнение у " = f (x,y,y ') таково, что функция f (x,y,y ') в некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные , то для любой точки
существует такой интервал
, на котором существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
.
Определение 12.18.
Решение уравнения у " = f (x,y,y ') называется частным решением, если в
каждой точке его сохраняется единственность решение задачи Коши. Оно получается из общего решения при конкретных значениях параметров С1 и С2.
Определение 12.19.
Решение уравнения второго порядка называется особым, если в каждой точке его нарушается единственность решения задачи Коши.
Замечание 1.2.3.
Рассмотрим уравнение у " = f (x,y,y '). Задача Коши состоит в нахождении решения этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям
при
.
Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, которая прходит через заданную точку M0(x0 ,y0) и имеет в этой точке заданную касательную, образующую с положительным направлением оси Ох такой угол , что
.
Механический смысл задачи Коши заключается в следующем. Запишем уравнение движения материяльной точки в проекции на ось Ох: . Здесь t – время,
- соответственно координата, проекции скорости и ускорения на ось Ох в момент t;
- проекция силы, действующей на точку, на ось Ох. Решение
этого уравнения называется движением точки, определяемое этим уравнением. Решение задачи Коши заключается в определении движения, удовлетворяющего начальным условиям:
,
при
, где числа
,
,и
есть соответственно начальный момент времени, начальная координата и начальная проекция скорости.
Пример 12.18.
Покажем, что есть общее решение дифференциального уравнения
.
Легко показать, что удовлетворяет данному уравнению при любых
, поскольку
, откуда
.
Пусть заданны произвлльные начальные условия . Покажем, что постоянные
можно подобрать так, что эти начальные условия будут удовлетворены.
Составим систему , из которой однозначно определяются
,
.
Таким образом, решение удовлетворяет поставленным начальным условиям. В силу определения 12.17 у= С1х + С2 есть общее решение уравнения
Пример 12.19.
Найдем область существования и единственности задачи Коши решения дифференциального уравнения .
Функция f (x,y,y ') и ее частные производные
,
непрерывны при
.
Таким образом, данное уравнение имеет единственное решение при и всех у, для которых
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 956 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!