Уравнения, допускающие понижение порядка. Дифференциальное уравнение второго порядка во многих случаях удается проинтегрировать в квадратурах путем предварительного сведения его к уравнению первого

Дифференциальное уравнение второго порядка во многих случаях удается проинтегрировать в квадратурах путем предварительного сведения его к уравнению первого порядка.

1^°. Уравнения вида y"=f(x)

Общее решение такого уравнения получается путем 2-кратного интегрирования: ; .

Пример 12.20.

Найдем общее решение дифференциального уравнения .

Интегрируем это уравнение последовательньно два раза: , откуда .

2^°. Уравнение, не содержащее неизвестной функции

Уравнение вида F (x,y ' ,y ") = 0 подстановкой приводится к уравнению первого порядка F (x,z,z ') = 0.

Если удается получить общее решение последнего уравнения в виде , то задача нахождения решения исходного уравнеия сводится к решению уравнения первого порядка .

Пример 12.21.

Найдем решения дифференциального уравнения , удовлетворяющие начальным условиям: а) , при ; б) , при .

Положим , тогда или ,

1) при , интегрируя , получим , , , ;

2) при имеем или , откуда . Следовательно, исходное уравнение имеет общее решение и семейство особых решений .

Найдем решение поставленных задач Коши:

а) Воспользуемся общим решением.

Имеем , . Полагая здесь , , , получим систему уравнений для определения ппоизвольных постоянных: ; , откуда , .

Подставляя эти значения и в общее решение, найдем два решения: и .

Других решений нет, так как ни одно из особых решений не удовлетворяет рассматриваемым начальным условиям;

б) Подставляя начальные данные , , , получим ; , откуда , и . Из особых решений только функция удовлетворяет рассматриваемым начальным данным.

3^° Уравнение, не содержащее независимой переменной

Уравнение вида F (у,y ' ,y ") = 0 допускает понижение порядка на единицу, если ввести новую неизвестную функцию и принять у за независимую переменную. При этом .

Подставляя это выражение в исходное уравнение, придем к уравнению первого порядка относительно функции p(y).

Пример 12.22.

Решим дифференциальное уравнение .

Уравнение не содержит независимую переменную х.

Полагая , , приходим к уравнению первого порядка , которое является уравнением Бернулли и решается, например, с помощью подстановки .

Имеем , откуда (С₁ = 2С).

Заменяя здесь р на у ', разделяя переменные и интегрируя, получим общий интеграл .