Уравнения с разделяющимися переменными. Пусть в уравнении функция может быть разложена на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной

Определение 12.8.

Пусть в уравнении функция может быть разложена на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной, то есть = или в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0 коэффициенты имеют вид

M(x,y)=M₁(x)M₂(y); N(x,y)=N₁(x)N₂(y).

Тогда такие дифференциальные уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Путем деления на f₂(y) и на M₂(y)N₁(x) эти уравнения приводятся соответственно к виду .

Также дифференциальные уравнения называются уравнениями с разделенными переменными.

Теорема 12.2.

Общим интегралом дифференциального уравнения с разделёнными переменными X(x)dx+Y(y)dy=0 является выражение .

Пример 12.3.

Решим дифференциальное уравнение .

Приведём уравнение к виду или .

Деля обе части на , приходим к уравнению с разделенными переменными . Интегриря обе части уравнения, получим , откуда .

При делении на могли быть потеряны решения x≡ 0 и y ≡ 1. Очевидно, что y ≡ 1 является решением уравнения, а x≡ 0 – нет.

Пример 12.4

Найдем частное решение дифференциальное уравнения ,

удовлетворяющее условию y(0) = 1.

Имеем .

Разделяя переменные, получим , откуда .

Интегрируя, находим общий интеграл . Полагая в нём x =0, y =0, будем иметь , откуда C = . Подставляя в общий интеграл найденное значение С, получим частное решение , или .

Из начального условия следует, что y >0, (y (0)=1>0), поэтому перед корнем берем знак плюс, а значит, искомое частное решение .

Пример 12.5.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение и выделим интегральную кривую, проходящую через точку (0; b).

Разделяем переменные в уравнении, тогда получим , откуда

1) при , имеем

2) при находим решения уравнения: . Первое из этих решений частное, второе – особое.

Прежде чем выделить интегральную кривую, проходящую через заданную точку (0, b), заметим, что через эту точку проходит особое решение , так что в ней нарушается единственность решения.

Полагая в общем интеграле x =0, y=b, находим С =0, так что через заданную точку проходит две интегральных кривых и .