![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Отметим записи дифференциального уравнения первого порядка:
1) - уравнение в общем виде:
2) - уравнение в нормальной форме:
3) M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 - уравнение в дифференцированной форме.
Наряду с уравнением также будет рассматриваться «перевернутое» уравнение
Пример 12.1.
Решим дифференциальное уравнение .
Имеем
, откуда y=ln|x|+C.
К решениям y=ln|x|+C уравнения следует присоединить решение x≡ 0 “перевернутого уравнения”
Определение 12.4.
Задачей Коши называют задачу нахождения решения дифференциального уравнения
, удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0. Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку M0(x0,y0) плоскости xОy.
Теорема 12.1 (о существовании и единственности решения задачи коши.)
Пусть в уравнении функция
определена в некоторой области D плоскости xОy, содержащей точку M0(x0,y0).
Задача Коши имеет решение и притом единственное на некотором интервале , если функция f(x,y) и её частная производная
непрерывны в области D.
Определение 12.5.
Решение y=φ(x,C) уравнения , где функция φ(x,C) определена в некоторой области изменения переменных х и С и имеет непрерывную частную производную по х, называется общим решением данного уравнения в заданной области D изменения переменных х и y, если в каждой точке этой области решения задачи Коши существует и единственно.
Иначе, общее решение уравнение
это:
1)решение данного уравнения;
2)какие бы начальные условия y(x0)=y0 ни задать, существует параметр C
такой, что эти начальные условия будут удовлетворены (т. е. уравнение разрешимо относительно С).
Замечание 12.1.
Если общее решение уравнения задано в неявном виде
, то оно называется общим интегралом этого уравнения.
Определение 12.6.
Решение, в каждой точке которого сохраняется единственность решения задачи Коши, называется частным решением.
Частное решение получается из общего решения при конкретном значении параметра С.
Определение 12.7.
Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением.
Особое решение всегда можно обнаружить в процессе построения общего решения данного дифференциального уравнения. Это те решения, которые могут быть утеряны при преобразовании данного уравнения в процессе решения.
Пример 12.2.
Покажем, что функция является решением дифференциального уравнения
и найдем частное решение, удовлетворяющее условию
(т. е. найдем интегральную кривую, проходящую через данную точку M0 (1;1)).
Имеем . Подставляя y и
в уравнение, получаем тождество
. Это означает, что функция
является решением данного дифференциального уравнения. Положив в нем
,
, найдем значение параметра
откуда
. Подставив
в решение, получим частное решение
.
Интегральной кривой, проходящей через точку M0 (1;1) является кубическая парабола (рис. 12.1).
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 465 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!