![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Интегрирующий множитель
Определение 12.13.
Дифференциальное уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференициал некоторой функции
, то есть
.
Уравнение в полных дифференциалах может быть переписано в виде , так что его общий интеграл имеет вид
.
Теорема 12.3.
Пусть функция и
определены и непрерывны в некоторой области D и имют в ней непреывные частные производные соответственно по у и по х. Тогда, для того чтобы уравнение
было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
.
При выполнении этого условия общий интеграл можно записать в виде или
, где нижние пределы х 0,, у0 можно выбрать произвольно, лишь бы точка (х 0,у0)
D.
Особых решений уравнение в полных дифференциалах не имеет.
Пример 12.14.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение .
Проверим, является ли оно уравнением в полных дифференциалах:
,
, так что
.
Таким образом, имеем уравнение в полных дифференциалах.
Общее решение определим по формуле , взяв за начальную точку
:
. Интегрируя, получим xsinxy = C. Это и есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.
Укажем другой способ нахождения общего интеграла уравнения в полных дифференциалах.
Функция должна удовлетворять системе уравнений
. (*)
Интегрируя частным образом по х первое из уравнений (*), получим , где φ(у) – произвольная дифференцируемая функция от у. Выберем ее так, чтобы функция
была решением и второго из уравнений (*).
Дифференцируя по у и полагая
, для нахождения φ(у) получаем дифференциальное уравнение вида φ(у')=ω(у), интегрируя которое, найдем функцию
.
Пример 12.15.
Найдем общий интеграл уравнения в полных дифференциалах .
Интегрируя по х коэффициент при dx, получим =
или
=
.
Дифференцируя по у и приравнивая коэффициенту при dy, находим , откуда
, а тогда
.
Определив функцию и полагая u =С, найдем общий интеграл
.
Определение 12.14.
Функция называется интегрирующим множителем, если дифференциальное уравнение
есть уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель можно найти из уравнения с частными производными .
Пусть уравнение = 0 имеет интегрирующий множитель, заисящий только от х, тогда
.(**)
В этом случае есть решение уравнения
. Оно имеет вид
.
Если уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от у, то
.
Множитель ищется как решение уравнения
. (***)
Оно имеет вид .
Пример 12.16.
Решим дифференциальное уравнение .
Легко показать, что оно не является уравнением в дифференциалах.
Проверим, не имеет ли оно интегрирующего множителя, зависящего только от х.
Имеем
, то есть условие (**) выполнено. Поэтому
.
Умножая обе части исходного уравнения на , получим
- уравнение в полных дифференциалах.
Найдем его общий интеграл: , или
.
Пример 12.17.
Решим дифференциальное уравнение .
Здесь . Условие теоремы 12.3 не выполнено.
Имеем
, следовательно, по условию (***)
, откуда
.
Уравнение является уравнеием в полных дифференциалах, общее решение которого
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 247 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!